Сколько различных четырëхзначных чисел, сумма цифр которых ровна 12, а произведение цифр равно 25?

Чтобы решить задачу, давайте начнем с определения необходимых условий для четырёхзначного числа. Обозначим четырёхзначное число как \( ABCD \), где \( A, B, C, D \) — цифры данного числа. Из условия у нас есть два уравнения: 1. Сумма цифр: \( A + B + C + D = 12 \) 2. Произведение цифр: \( A \times B \times C \times D = 25 \) Также учтём, что \( A \) не может быть равным нулю, так как число четырёхзначное. ### Шаг 1: Разложение произведения Прежде всего, разложим число 25 на множители, которые могут представлять цифры от 0 до 9: \[ 25 = 5 \times 5 \] Других вариантов разложения в рамках однозначных цифр нет (так как 25 не может быть разложено на два различных множителя, которые были бы меньше 10). ### Шаг 2: Определение возможных комбинаций цифр Мы видим, что у нас есть два множителя 5. Теперь мы можем попробовать добавить к ним другие цифры, чтобы сумма была равной 12. Составляя множество \( A, B, C, D \): - Пусть \( A = 5 \), \( B = 5 \). Тогда нам нужно найти \( C \) и \( D \), такие что: \[ C + D = 12 - 5 - 5 = 2 \] Здесь возможные пары \((C, D)\) будут: - \( (0, 2) \) - \( (1, 1) \) - \( (2, 0) \) ### Шаг 3: Подсчёт различных чисел Теперь рассмотрим каждую комбинацию цифр: 1. **Комбинация \( (5, 5, 0, 2) \)**: - Возможные перестановки: \( 4!/(2!1!1!) = 12 \) перестановок 2. **Комбинация \( (5, 5, 1, 1) \)**: - Возможные перестановки: \( 4!/(2!2!) = 6 \) перестановок 3. **Комбинация \( (5, 5, 2, 0) \)**: - Возможные перестановки: \( 4!/(2!1!1!) = 12 \) перестановок Теперь складываем все возможные перестановки: \[ 12 + 6 + 12 = 30 \] ### Ответ Таким образом, существует **30 различных четырёхзначных чисел**, сумма цифр которых равна 12, а произведение цифр равно 25.