Решим задачу шаг за шагом.
Обозначим наши четыре различных числа как ( x_1, x_2, x_3, x_4 ). У нас есть две основные информации:
Сумма этих чисел равна 45:
[
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 45
]
При операциях над числами они становятся равными:
[
x_1 + 2 = x_2 - 2 = 2x_3 = \frac{x_4}{2}
]
Обозначим общую величину, равную всем полученным значениям, как ( k ). Тогда из уравнений мы можем выразить каждое число через ( k ):
Из первого уравнения:
[
x_1 + 2 = k \Rightarrow x_1 = k - 2
]
Из второго уравнения:
[
x_2 - 2 = k \Rightarrow x_2 = k + 2
]
Из третьего уравнения:
[
2x_3 = k \Rightarrow x_3 = \frac{k}{2}
]
Из четвёртого уравнения:
[
\frac{x_4}{2} = k \Rightarrow x_4 = 2k
]
Теперь у нас есть все числа в зависимости от ( k ):
- ( x_1 = k - 2 )
- ( x_2 = k + 2 )
- ( x_3 = \frac{k}{2} )
- ( x_4 = 2k )
Теперь подставим эти выражения в уравнение суммы:
[
(k - 2) + (k + 2) + \left(\frac{k}{2}\right) + (2k) = 45
]
Сложим все члены:
[
k - 2 + k + 2 + \frac{k}{2} + 2k = 45 \
4k + \frac{k}{2} = 45
]
Для упрощения уравнения, преобразуем ( 4k + \frac{k}{2} ):
[
4k + \frac{1}{2}k = \frac{8k + k}{2} = \frac{9k}{2}
]
Тогда уравнение примет вид:
[
\frac{9k}{2} = 45
]
Умножим обе стороны на 2:
[
9k = 90 \
k = 10
]
Теперь подставим ( k = 10 ) в выражения для чисел:
- ( x_1 = 10 - 2 = 8 )
- ( x_2 = 10 + 2 = 12 )
- ( x_3 = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_4 = 2 \cdot 10 = 20 )
Таким образом, наши четыре числа: ( 8, 12, 5, 20 ).
Теперь найдем наибольшее из них. Это число:
[
\text{Наибольшее число} = 20
]
Ответ: 20.
