Чтобы сократить дробь (\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}), давайте разложим числитель и знаменатель на множители.
Шаг 1: Разложение числителя
Числитель: (x^2 - 11x + 24)
Мы ищем два числа, произведение которых равно (24) (свободный член), а сумма равна (-11) (коэффициент перед (x)). Эти числа — (-3) и (-8), так как:
[
-3 \times -8 = 24 \quad \text{и} \quad -3 + (-8) = -11
]
Поэтому:
[
x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)
]
Шаг 2: Разложение знаменателя
Знаменатель: (x^2 - 64)
Это выражение является разностью квадратов, так как (64 = 8^2):
[
x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)
]
Шаг 3: Подстановка
Теперь подставим разложенные множители обратно в дробь:
[
\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)}
]
Шаг 4: Сокращение дроби
Теперь мы видим, что множитель ((x - 8)) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить (при условии, что (x \neq 8)):
[
\frac{(x - 3) \cancel{(x - 8)}}{\cancel{(x - 8)} (x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8}
]
Шаг 5: Итог
Таким образом, сокращенная дробь:
[
\frac{x - 3}{x + 8} \quad \text{(при условии, что (x \neq 8))}
]
Заключение
Мы успешно разложили числитель и знаменатель на множители и упростили дробь. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие примеры, дайте знать!
