сократите дробь: x²-11x+24/x²-64

Чтобы сократить дробь \(\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}\), давайте разложим числитель и знаменатель на множители.

Шаг 1: Разложение числителя

Числитель: \(x^2 - 11x + 24\)

Мы ищем два числа, произведение которых равно \(24\) (свободный член), а сумма равна \(-11\) (коэффициент перед \(x\)). Эти числа — \(-3\) и \(-8\), так как:

\[ -3 \times -8 = 24 \quad \text{и} \quad -3 + (-8) = -11 \]

Поэтому: \[ x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8) \]

Шаг 2: Разложение знаменателя

Знаменатель: \(x^2 - 64\)

Это выражение является разностью квадратов, так как \(64 = 8^2\): \[ x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8) \]

Шаг 3: Подстановка

Теперь подставим разложенные множители обратно в дробь: \[ \frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)} \]

Шаг 4: Сокращение дроби

Теперь мы видим, что множитель \((x - 8)\) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем его сократить (при условии, что \(x \neq 8\)): \[ \frac{(x - 3) \cancel{(x - 8)}}{\cancel{(x - 8)} (x + 8)} = \frac{x - 3}{x + 8} \]

Шаг 5: Итог

Таким образом, сокращенная дробь: \[ \frac{x - 3}{x + 8} \quad \text{(при условии, что \(x \neq 8\))} \]

Заключение

Мы успешно разложили числитель и знаменатель на множители и упростили дробь. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие примеры, дайте знать!