Рассмотрим уравнение:
[
2x^4 - 5x^2 - 3 = 0
]
Это уравнение является многочленом четвертой степени. Для его решения удобно использовать замену переменной. Поскольку у нас есть (x^4) и (x^2), давайте введем замену:
[
y = x^2
]
Тогда (x^4 = (x^2)^2 = y^2), и наше уравнение преобразуется в:
[
2y^2 - 5y - 3 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0):
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где (a = 2), (b = -5), (c = -3). Посчитаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)
]
[
D = 25 + 24 = 49
]
Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь можем подставить значение дискриминанта в формулу:
[
y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}
]
Теперь найдем корни:
- Первый корень:
[
y_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3
]
- Второй корень:
[
y_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]
Теперь вспомним, что (y = x^2). Найдем значения (x) для каждого корня:
- Для (y_1 = 3):
[
x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3}
]
- Для (y_2 = -\frac{1}{2}):
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, (x^2 = -\frac{1}{2}) не имеет действительных решений.
Таким образом, у нашего уравнения:
[
2x^4 - 5x^2 - 3 = 0
]
Есть два действительных корня:
[
x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3}
]
Это и есть все решения уравнения.
