два икс в четвертой степени минус пять икс во второй степени минус 3 равно ноль
Рассмотрим уравнение:
\[ 2x^4 - 5x^2 - 3 = 0 \]
Это уравнение является многочленом четвертой степени. Для его решения удобно использовать замену переменной. Поскольку у нас есть \(x^4\) и \(x^2\), давайте введем замену:
\[ y = x^2 \]
Тогда \(x^4 = (x^2)^2 = y^2\), и наше уравнение преобразуется в:
\[ 2y^2 - 5y - 3 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -3\). Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \] \[ D = 25 + 24 = 49 \]
Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Теперь можем подставить значение дискриминанта в формулу:
\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4} \]
Теперь найдем корни:
- Первый корень:
\[ y_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
- Второй корень:
\[ y_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
Теперь вспомним, что \(y = x^2\). Найдем значения \(x\) для каждого корня:
- Для \(y_1 = 3\):
\[ x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{3} \]
- Для \(y_2 = -\frac{1}{2}\):
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, \(x^2 = -\frac{1}{2}\) не имеет действительных решений.
Таким образом, у нашего уравнения:
\[ 2x^4 - 5x^2 - 3 = 0 \]
Есть два действительных корня:
\[ x_1 = \sqrt{3}, \quad x_2 = -\sqrt{3} \]
Это и есть все решения уравнения.
