2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: A(0; 4), B(-3; 5), C(-1; 3). 1) Найдите острый угол между медианой АМ и стороной АС 2)вычислите AB*BC+BC*CA

Решим задачу поэтапно.

Дано:
Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты:

• A(0; 4)
• B(-3; 5)
• C(-1; 3)

1. Найдём медиану AM и угол между медианой AM и стороной AC.

Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка BC (М).

Координаты середины отрезка, соединяющего точки B и C, можно найти по формуле: \[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \]

Подставим координаты B и C: \[ M\left(\frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{5 + 3}{2}\right) = M\left(\frac{-4}{2}, \frac{8}{2}\right) = M(-2, 4) \]

Шаг 2: Найдем векторы AM и AC.

Вектор AM можно найти, вычитая координаты A из координат M: \[ \vec{AM} = M - A = (-2 - 0, 4 - 4) = (-2, 0) \]

Вектор AC: \[ \vec{AC} = C - A = (-1 - 0, 3 - 4) = (-1, -1) \]

Шаг 3: Найдем угол между векторами AM и AC.

Для нахождения угла между двумя векторами мы используем скалярное произведение: \[ \vec{AM} \cdot \vec{AC} = |\vec{AM}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\theta) \] где \[ \vec{AM} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 2 \]

Теперь найдём длины векторов AM и AC: \[ |\vec{AM}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2, \quad |\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ 2 = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta) \] \[ \cos(\theta) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]

Ответ на часть 1: Угол между медианой AM и стороной AC равен \(45^\circ\).

2. Вычислим AB * BC + BC * CA.

Шаг 1: Найдём длины отрезков AB, BC и CA.

Длина отрезка AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

Длина отрезка BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Длина отрезка CA: \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

Шаг 2: Подставим длины отрезков в формулу.

Теперь вычислим: \[ AB \cdot BC + BC \cdot CA = \sqrt{10} \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} \] \[ = 2\sqrt{20} + 2 \cdot 2 = 2\sqrt{20} + 4 = 2(2\sqrt{5} + 2) = 4\sqrt{5} + 8 \]

Ответ на часть 2: \(AB \cdot BC + BC \cdot CA = 4\sqrt{5} + 8\).

Таким образом, мы нашли угол между медианой и стороной, а также вычислили значение выражения с отрезками.