ABCDA' B'C' D' бірлік текшесі (куб). а) АВС жазықтығы мен АС" түзуі арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз; b) егер М нүктесі АВ қырының ортасы болса, онда MA'D және CA'D жазықтықтарының арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз.

Берілген текшеде (ABCDA' B'C' D') координаттар жүйесін құрып, барлық нүктелердің координаталарын анықтайық. Текше бірлік текше болғандықтан, нүктелердің координаталары келесідей болады: - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - A'(0, 0, 1) - B'(1, 0, 1) - C'(1, 1, 1) - D'(0, 1, 1) ### а) AС" түзуі мен ABC жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусын табу 1. **ABC жазықтығын формула арқылы анықтайық:** ABC жазықтығы A, B, C нүктелерінен құралғандықтан, ол (A, B) және (A, C) бағыттарын қолдана отырып, нормаль векторын табамыз. - AB векторы: **AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)** - AC векторы: **AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)** 2. **Нормаль векторын табу:** Нормаль векторын AB және AC векторларының кресі арқылы табамыз. \[ \text{N} = \text{AB} \times \text{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\hat{i} - (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\hat{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\hat{k} = (0, 0, 1) \] Яғни, N = (0, 0, 1). 3. **AС" түзуі:** AС" түзуі A нүктесінен C' нүктесіне дейін созылған сызық. \[ AC' = C' - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1) \] 4. **Бұрыш косинусын табу:** Нормаль векторы мен AС" векторы арасындағы бұрыштың косинусы: \[ \cos(\theta) = \frac{\text{N} \cdot \text{AC'}}{|\text{N}| |\text{AC'}|} \] **N**: (0, 0, 1) және **AC'**: (1, 1, 1) векторларын есептейік. \[ \text{N} \cdot \text{AC'} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \] \[ |\text{N}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |\text{AC'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] Енді, біздік қорытынды: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] ### b) MA'D және CA'D жазықтықтарының арасындағы бұрыштың косинусын табу 1. **M нүктесі:** M AB қырының ортасы болғандықтан, оның координаталары: \[ M = \left(\frac{0 + 1}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \] 2. **MA'D жазықтығы:** - MA' векторы: \[ MA' = A' - M = (0, 0, 1) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right) \] - MD векторы: \[ MD = D - M = (0, 1, 0) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right) \] 3. **Нормаль вектор:** \[ \text{N}_{MA'D} = MA' \times MD = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 1\cdot 1)\hat{i} - (1\cdot-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})\cdot1)\hat{j} + (-\frac{1}{2}\cdot1 - 0\cdot-\frac{1}{2})\hat{k} \] \[ = (-1, 0, -\frac{1}{2}) \] 4. **CA'D жазықтығы:** - CA векторы: \[ CA' = A' - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1) \] - CD векторы: \[ CD = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0) \] 5. **Нормаль вектор:** \[ \text{N}_{CA'D} = CA' \times CD = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot1 - -1\cdot0)\hat{i} - (1\cdot-1 - -1\cdot-1)\hat{j} + (-1\cdot0 - -1\cdot-1)\hat{k} \] \[ = (0, -2, 1) \] 6. **Бұрыш косинусын табу:** \[ \cos(\phi) = \frac{\text{N}_{MA'D} \cdot \text{N}_{CA'D}}{|\text{N}_{MA'D}| |\text{N}_{CA'D}|} \] \[ = \frac{(-1, 0, -\frac{1}{2}) \cdot (0, -2, 1)}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-\frac{1}{2})^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}} \] \[ = \frac{0 + 0 + (-\frac{1}{2}\cdot 1)}{\sqrt{1 + 0 + \frac{1}{4}} \cdot \sqrt{0 + 4 + 1}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{25}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{25}} = -\frac{1}{5} \] ### Қорытынды: а) AС' түзуі мен ABC жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусы: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) b) MA'D және CA'D жазықтықтарының арасындағы бұрыштың косинусы: \(-\frac{1}{5}\)