ABCDA' B'C' D' бірлік текшесі (куб). а) АВС жазықтығы мен АС" түзуі арасындағы бұрыштың косинусын табыңыз; b) егер М нүктесі АВ қырының ортасы болса, онда MA'D және CA'D…

Берілген текшеде (ABCDA' B'C' D') координаттар жүйесін құрып, барлық нүктелердің координаталарын анықтайық. Текше бірлік текше болғандықтан, нүктелердің координаталары келесідей болады:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A'(0, 0, 1)
• B'(1, 0, 1)
• C'(1, 1, 1)
• D'(0, 1, 1)

а) AС" түзуі мен ABC жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусын табу

1. ABC жазықтығын формула арқылы анықтайық: ABC жазықтығы A, B, C нүктелерінен құралғандықтан, ол (A, B) және (A, C) бағыттарын қолдана отырып, нормаль векторын табамыз.

   • AB векторы: AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
   • AC векторы: AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)

2. Нормаль векторын табу: Нормаль векторын AB және AC векторларының кресі арқылы табамыз.

   \[ \text{N} = \text{AB} \times \text{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)\hat{i} - (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\hat{j} + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\hat{k} = (0, 0, 1) \]

   Яғни, N = (0, 0, 1).

3. AС" түзуі: AС" түзуі A нүктесінен C' нүктесіне дейін созылған сызық.

   \[ AC' = C' - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1) \]

4. Бұрыш косинусын табу: Нормаль векторы мен AС" векторы арасындағы бұрыштың косинусы:

   \[ \cos(\theta) = \frac{\text{N} \cdot \text{AC'}}{|\text{N}| |\text{AC'}|} \]

   N: (0, 0, 1) және AC': (1, 1, 1) векторларын есептейік.

   \[ \text{N} \cdot \text{AC'} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \]

   \[ |\text{N}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |\text{AC'}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

   Енді, біздік қорытынды:

   \[ \cos(\theta) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

b) MA'D және CA'D жазықтықтарының арасындағы бұрыштың косинусын табу

1. M нүктесі: M AB қырының ортасы болғандықтан, оның координаталары: \[ M = \left(\frac{0 + 1}{2}, 0, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \]

2. MA'D жазықтығы:

   • MA' векторы: \[ MA' = A' - M = (0, 0, 1) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 0, 1\right) \]
   • MD векторы: \[ MD = D - M = (0, 1, 0) - \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0\right) \]

3. Нормаль вектор: \[ \text{N}_{MA'D} = MA' \times MD = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 1\cdot 1)\hat{i} - (1\cdot-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})\cdot1)\hat{j} + (-\frac{1}{2}\cdot1 - 0\cdot-\frac{1}{2})\hat{k} \]

   \[ = (-1, 0, -\frac{1}{2}) \]

4. CA'D жазықтығы:

   • CA векторы: \[ CA' = A' - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1) \]
   • CD векторы: \[ CD = D - C = (0, 1, 0) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 0) \]

5. Нормаль вектор: \[ \text{N}_{CA'D} = CA' \times CD = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot1 - -1\cdot0)\hat{i} - (1\cdot-1 - -1\cdot-1)\hat{j} + (-1\cdot0 - -1\cdot-1)\hat{k} \] \[ = (0, -2, 1) \]

6. Бұрыш косинусын табу: \[ \cos(\phi) = \frac{\text{N}_{MA'D} \cdot \text{N}_{CA'D}}{|\text{N}_{MA'D}| |\text{N}_{CA'D}|} \] \[ = \frac{(-1, 0, -\frac{1}{2}) \cdot (0, -2, 1)}{\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-\frac{1}{2})^2} \cdot \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2}} \] \[ = \frac{0 + 0 + (-\frac{1}{2}\cdot 1)}{\sqrt{1 + 0 + \frac{1}{4}} \cdot \sqrt{0 + 4 + 1}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{25}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{25}} = -\frac{1}{5} \]

Қорытынды:

а) AС' түзуі мен ABC жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусы: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

b) MA'D және CA'D жазықтықтарының арасындағы бұрыштың косинусы: \(-\frac{1}{5}\)