Реши 31 номер

Давайте разберём каждое неравенство по порядку.

1. Неравенство \(9^x - 3^x - 6 > 0\)

Решение:

1. Замена переменной:

   • Пусть \(y = 3^x\). Тогда \(9^x = (3^x)^2 = y^2\).
   • Неравенство приобретает вид: \(y^2 - y - 6 > 0\).

2. Решение квадратного неравенства:

   • Решим квадратное уравнение \(y^2 - y - 6 = 0\) для нахождения корней.
   • Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).
   • Корни: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \] \[ y_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

3. Решение неравенства:

   • \(y^2 - y - 6 = (y - 3)(y + 2)\).
   • \( (y - 3)(y + 2) > 0 \).
   • Знаки выражения меняются на корнях, то есть, \(y = 3\) и \(y = -2\).

4. Интервалы:

   • Рассмотрим интервалы: \((-\infty, -2)\), \((-2, 3)\), \((3, \infty)\).
   • Знаки:
     • На интервале \((-\infty, -2)\), \(y + 2\) и \(y - 3\) отрицательны, произведение положительно.
     • На интервале \((-2, 3)\), \(y + 2 > 0\) и \(y - 3 < 0\), произведение отрицательно.
     • На интервале \((3, \infty)\), оба множителя положительны, произведение положительно.

5. Ответ:

   • \(y \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty)\).
   • Учитывая, что \(y = 3^x\), а \(y > 0\), остаётся только интервал \(y \in (3, \infty)\).
   • Соответственно \(3^x > 3\), откуда \(x > 1\).

3. Неравенство \(5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0\)

Решение:

1. Замена переменной:

   • Пусть \(y = 5^x\). Тогда \(5^{2x+1} = 5 \cdot (5^x)^2 = 5y^2\).
   • Получаем: \(5y^2 + 4y - 1 > 0\).

2. Решение квадратного неравенства:

   • Решим уравнение \(5y^2 + 4y - 1 = 0\).
   • Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \]
   • Корни: \[ y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 6}{10} \] \[ y_1 = \frac{2}{10} = 0.2, \quad y_2 = \frac{-10}{10} = -1 \]

3. Решение неравенства:

   • \(5y^2 + 4y - 1 = 5(y - 0.2)(y + 1)\).
   • Неравенство: \( 5(y - 0.2)(y + 1) > 0 \).

4. Интервалы:

   • Определим знаки произведения на интервалах: \((-\infty, -1)\), \((-1, 0.2)\), \((0.2, \infty)\).
   • На \((-\infty, -1)\), \((y - 0.2)\) и \((y+1)\) отрицательны, произведение положительно.
   • На \((-1, 0.2)\), сумма знаков отрицательна.
   • На \((0.2, \infty)\), оба положительны, продукт положителен.

5. Ответ:

   • \(y \in (-\infty, -1) \cup (0.2, \infty)\).
   • Так как \(y = 5^x > 0\), остаётся \(y \in (0.2, \infty)\).
   • Соответственно, \(5^x > 0.2\), и с логарифмированием получаем \(x > \log_5(0.2)\).

Это логарифмическое неравенство можно упростить до: \[ x > -\log_5(5^{-0.7}) = -0.7 \]

Таким образом, конечные ответы таковы:

1. \(x > 1\)
2. \(x > -0.7\)