Давайте разберем вашу задачу по шагам. Вы рассматриваете предел:
[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x
]
Шаг 1: Понять, что происходит с выражением
Когда ( x ) становится очень большим, ( \frac{2}{x} ) стремится к нулю. То есть, выражение внутри скобок:
[
1 + \frac{2}{x} \to 1 \text{ при } x \to \infty
]
Шаг 2: Заметим важное преобразование
Однако мы видим, что это выражение возводится в степень ( x ), что делает ситуацию более интересной. Чтобы понять, к чему стремится всё выражение, мы можем воспользоваться свойством предела, связанным с использованием экспоненты:
[
\lim_{x \to \infty} (1 + u)^v \text{ можно привести к } e^{\lim_{x \to \infty} u \cdot v} \text{ если } u = \frac{2}{x} \text{ и } v = x
]
Шаг 3: Установим новую переменную
Пусть ( u = \frac{2}{x} ), тогда мы можем записать:
[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + u\right)^{\frac{2}{u}}
]
где ( u \to 0 ) при ( x \to \infty ). Поскольку ( v = x ) и ( u = \frac{2}{x} ), мы можем выразить ( v ) через ( u ):
[
v = \frac{2}{u}
]
Шаг 4: Применением предела к экспоненте
Мы можем переписать предел как:
[
\lim_{u \to 0} \left(1 + u\right)^{\frac{2}{u}} = e^{\lim_{u \to 0} \frac{2}{u} \ln(1 + u)}
]
Шаг 5: Используем приближение
Для ( u ) стремящегося к нулю, мы используем разложение:
[
\ln(1 + u) \approx u
]
Следовательно,
[
\lim_{u \to 0} \frac{2 \ln(1 + u)}{u} = \lim_{u \to 0} \frac{2u}{u} = 2
]
Шаг 6: Подставляем в формулу
Теперь у нас есть:
[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2
]
Ответ:
Таким образом, окончательный ответ на предел будет:
[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2
]
Если у вас будут еще вопросы по пределам или другие темы, не стесняйтесь спрашивать!
