тело движется по закону s(t)= -163+4t²-1/5t⁵(м) найдите:а) скорость тела в момент времени t0=1 сек ;б) ускорение тела в момент времени t0=1 сек
Для начала давайте разберёмся с задачей. У нас есть закон движения тела:
\[ s(t) = -163 + 4t^2 - \frac{1}{5}t^5 \]
где \( s(t) \) — это перемещение тела в метрах, а \( t \) — время в секундах. Мы хотим найти скорость и ускорение тела в момент времени \( t_0 = 1 \) сек.
1. Находим скорость
Скорость тела \( v(t) \) можно найти как производную от перемещения \( s(t) \) по времени \( t \):
\[ v(t) = \frac{ds}{dt} \]
Теперь найдём производную \( s(t) \):
\[ s(t) = -163 + 4t^2 - \frac{1}{5}t^5 \]
Производная \( s(t) \):
- Производная постоянной \(-163\) равна 0.
- Производная \(4t^2\) равна \(8t\).
- Производная \(-\frac{1}{5}t^5\) равна \(-t^4\) (по правилу производной для степенной функции).
Таким образом, имеем:
\[ v(t) = 0 + 8t - t^4 = 8t - t^4 \]
Теперь подставим \( t_0 = 1 \) сек:
\[ v(1) = 8 \cdot 1 - (1)^4 = 8 - 1 = 7 \text{ м/с} \]
2. Находим ускорение
Ускорение тела \( a(t) \) — это производная скорости \( v(t) \):
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} \]
Теперь найдём производную \( v(t) = 8t - t^4 \):
- Производная \(8t\) равна \(8\).
- Производная \(-t^4\) равна \(-4t^3\).
Таким образом, имеем:
\[ a(t) = 8 - 4t^3 \]
Теперь подставим \( t_0 = 1 \) сек:
\[ a(1) = 8 - 4(1)^3 = 8 - 4 = 4 \text{ м/с}^2 \]
Ответ:
а) Скорость тела в момент времени \( t_0 = 1 \) сек составляет 7 м/с.
б) Ускорение тела в момент времени \( t_0 = 1 \) сек составляет 4 м/с².
