Давайте разберем задачу по шагам.
1. Найдем значения функции f(2) и f(-3).
Функция задана формулой:
[ f(x) = 3x^2 + x - 2 ]
a) Находим ( f(2) ):
Подставим ( x = 2 ) в уравнение функции:
[
f(2) = 3(2)^2 + (2) - 2
]
[
= 3 \cdot 4 + 2 - 2
]
[
= 12 + 2 - 2
]
[
= 12
]
Таким образом, ( f(2) = 12 ).
b) Находим ( f(-3) ):
Теперь подставим ( x = -3 ) в уравнение функции:
[
f(-3) = 3(-3)^2 + (-3) - 2
]
[
= 3 \cdot 9 - 3 - 2
]
[
= 27 - 3 - 2
]
[
= 27 - 5
]
[
= 22
]
Таким образом, ( f(-3) = 22 ).
2. Найдем нули функции.
Нули функции — это такие значения ( x ), при которых ( f(x) = 0 ). То есть нам нужно решить уравнение:
[
3x^2 + x - 2 = 0
]
Этот квадратный трёхчлен можно решить с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Где ( a = 3 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ). Подставим значения:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)
]
[
= 1 + 24
]
[
= 25
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3}
]
[
= \frac{-1 \pm 5}{6}
]
Теперь найдем два корня:
- Первый корень (( x_1 )):
[
x_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
- Второй корень (( x_2 )):
[
x_2 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1
]
Ответ:
- ( f(2) = 12 ) и ( f(-3) = 22 ).
- Нули функции: ( x_1 = \frac{2}{3} ) и ( x_2 = -1 ).
