Реши задачу: Вычисли площадь равнобедренного треугольника ABC с боковой стороной AB=26 см, если периметр треугольника равен 72 см.
Для того чтобы найти площадь равнобедренного треугольника ABC с боковой стороной AB=26 см и периметром 72 см, будем выполнять шаги по порядку.
Определим стороны треугольника:
В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB и AC равны. Обозначим длину основания BC как \( x \). Таким образом, можем записать уравнение периметра:
\[ AB + AC + BC = 72 \]
Поскольку \( AB = AC = 26 \) см, подставим эти значения в уравнение:
\[ 26 + 26 + x = 72 \]
Упростим это уравнение:
\[ 52 + x = 72 \]
Теперь решим его по \( x \):
\[ x = 72 - 52 = 20 \, \text{см} \]
Таким образом, длина основания BC равна 20 см.
Найдем высоту треугольника:
Чтобы найти площадь треугольника, первым делом нужно найти высоту. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины A к основанию BC, делит его пополам. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как D.
Таким образом, \( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{см} \).
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD, где AB=26 см — гипотенуза, AD — высота, а BD=10 см — один из катетов. Мы можем применить теорему Пифагора:
\[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 26^2 = AD^2 + 10^2 \]
Это приводит к уравнению:
\[ 676 = AD^2 + 100 \]
Упростим его:
\[ AD^2 = 676 - 100 = 576 \]
Найдем высоту AD:
\[ AD = \sqrt{576} = 24 \, \text{см} \]
Теперь можем найти площадь треугольника:
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]
В нашем случае основание BC = 20 см и высота AD = 24 см. Подставим значения в формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 \]
Рассчитаем:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 480 = 240 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь равнобедренного треугольника ABC равна 240 см².
