Реши задачу по геометрии: Даны координаты вершин параллелограмма АБСД: А(-6;1),В(0;5),С(6;-4),Д(0;-8) Докажите что АБСД прямоугольник,найти S АБСД?

Для того чтобы доказать, что параллелограмм АБСД является прямоугольником, необходимо проверить, что его углы равны 90 градусов. Это можно сделать, проверив перпендикулярность смежных сторон. Если две стороны перпендикулярны, скалярное произведение их векторов равно нулю. ### Шаг 1. Находим координаты векторов Сначала найдем векторы, соответствующие сторонам параллелограмма: 1. **Вектор AB**: \[ \vec{AB} = B - A = (0 - (-6), 5 - 1) = (6, 4) \] 2. **Вектор BC**: \[ \vec{BC} = C - B = (6 - 0, -4 - 5) = (6, -9) \] 3. **Вектор CD**: \[ \vec{CD} = D - C = (0 - 6, -8 - (-4)) = (-6, -4) \] 4. **Вектор DA**: \[ \vec{DA} = A - D = (-6 - 0, 1 - (-8)) = (-6, 9) \] ### Шаг 2. Проверим перпендикулярность векторов Для проверки перпендикулярности векторов используем скалярное произведение. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: - Проверим \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-9) = 36 - 36 = 0 \] \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) перпендикулярны. - Проверим \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\): \[ \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 6 \cdot (-6) + (-9) \cdot (-4) = -36 + 36 = 0 \] \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\) перпендикулярны. - Проверим \(\vec{CD}\) и \(\vec{DA}\): \[ \vec{CD} \cdot \vec{DA} = (-6) \cdot (-6) + (-4) \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \] \(\vec{CD}\) и \(\vec{DA}\) перпендикулярны. - Проверим \(\vec{DA}\) и \(\vec{AB}\): \[ \vec{DA} \cdot \vec{AB} = (-6) \cdot 6 + 9 \cdot 4 = -36 + 36 = 0 \] \(\vec{DA}\) и \(\vec{AB}\) перпендикулярны. ### Шаг 3. Заключение Поскольку все пары смежных векторов параллелограмма перпендикулярны, мы можем констатировать, что параллелограмм АБСД является прямоугольником. ### Шаг 4. Найти площадь Площадь прямоугольника можно найти, используя формулу: \[ S = a \cdot b \] где \(a\) и \(b\) — длины сторон прямоугольника. Чтобы найти длины сторон, используем координаты вершин. 1. **Длина стороны AB**: \[ AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] 2. **Длина стороны BC**: \[ BC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \] Теперь подставим значения в формулу для площади: \[ S = AB \cdot BC = 2\sqrt{13} \cdot 3\sqrt{13} = 6 \cdot 13 = 78 \] ### Ответ Параллелограмм АБСД является прямоугольником и его площадь \(S = 78\) квадратных единиц.