log_7(x-2)-log_7(x+2)=1-log_7(2x+7)

Для решения уравнения \( \log_7(x-2) - \log_7(x+2) = 1 - \log_7(2x+7) \) выполним следующие шаги:

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

Сначала воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) \). Применяя это свойство к левой части уравнения, получаем: \[ \log_7\left(\frac{x-2}{x+2}\right) = 1 - \log_7(2x+7) \]

Шаг 2: Перепишем правую часть

В правой части уравнения \( 1 \) можно выразить через логарифм: \[ 1 = \log_7(7) \] Поэтому уравнение можно переписать так: \[ \log_7\left(\frac{x-2}{x+2}\right) = \log_7(7) - \log_7(2x+7) \] Теперь применим то же свойство логарифмов, что использовали ранее: \[ \log_7\left(\frac{x-2}{x+2}\right) = \log_7\left(\frac{7}{2x+7}\right) \]

Шаг 3: Удалим логарифмы

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, когда их аргументы равны, можем устранить логарифмы из обеих сторон: \[ \frac{x-2}{x+2} = \frac{7}{2x+7} \]

Шаг 4: Перемножим крест-накрест

Теперь мы можем использовать метод крест-накрест для решения уравнения: \[ (x - 2)(2x + 7) = (x + 2)7 \]

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки: \[ 2x^2 + 7x - 4x - 14 = 7x + 14 \] Это упрощается до: \[ 2x^2 + 3x - 14 = 7x + 14 \]

Шаг 6: Приведем все слагаемые к одной стороне

Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ 2x^2 + 3x - 7x - 14 - 14 = 0 \] Упрощаем: \[ 2x^2 - 4x - 28 = 0 \]

Шаг 7: Делим на 2

Упростим уравнение, поделив его на 2: \[ x^2 - 2x - 14 = 0 \]

Шаг 8: Найдем корни квадратного уравнения

Для нахождения корней используем формулу квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 56}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{60}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{15}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{15} \]

Шаг 9: Проверка условий

Теперь нам нужно проверить, что найденные корни удовлетворяют условиям логарифмов: \( x - 2 > 0 \) и \( x + 2 > 0 \). Это значит, что:

• \( x > 2 \)

Проверим корни:

1. \( x = 1 + \sqrt{15} \) (приблизительно 4.87) подходит.
2. \( x = 1 - \sqrt{15} \) (приблизительно -2.87) не подходит.

Ответ

Таким образом, единственным допустимым решением является: \[ x = 1 + \sqrt{15} \]