Чтобы найти радиус описанной окружности ( R ) треугольника, можно воспользоваться формулой:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь.
Дано:
- Угол ( C = 45^\circ )
- Сторона ( AB = c = 3\sqrt{2} )
Шаг 1: Поиск сторон треугольника
По свойству треугольника, мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
]
Здесь ( A ) и ( B ) — углы при вершинах ( A ) и ( B ).
Шаг 2: Используем свойства треугольника
В треугольнике ( ABC ) при угле ( C = 45^\circ ), стороны ( a ) и ( b ) можно выразить через сторону ( c ) и угол ( C ) по формуле:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
]
Подставив ( C = 45^\circ ) (где ( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} )), получаем:
[
(3\sqrt{2})^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
18 = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}
]
Шаг 3: Площадь треугольника
Площадь ( S ) треугольника можно найти с помощью формулы:
[
S = \frac{1}{2}ab \sin C
]
Поскольку угол ( C = 45^\circ ), то ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), получаем:
[
S = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{ab\sqrt{2}}{4}
]
Шаг 4: Подставляем в формулу радиуса
Теперь подставляем значения в формулу радиуса описанной окружности:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
Зная ( c ) и ( S ):
[
R = \frac{ab \cdot 3\sqrt{2}}{4 \cdot \frac{ab\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3
]
Ответ
Радиус описанной окружности ( R ) равен ( 3 ).
