Сообщить об ошибке 22. Построй график функции { − x 2 + 2 x + 1 , x ⩽ 2 − x + 2 , x > 2 { −x 2 +2x+1,x⩽2 −x+2,x>2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с…
Сообщить об ошибке 22. Построй график функции { − x 2 + 2 x + 1 , x ⩽ 2 − x + 2 , x > 2 { −x 2 +2x+1,x⩽2 −x+2,x>2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Укажи, какому числовому промежутку принадлежит m m.
Для начала, разберёмся с функцией:
Первая часть функции: \( f(x) = -x^2 + 2x + 1 \) для \( x \leq 2 \). Это - парабола, открытая вниз. Находим вершину параболы, используя формулу: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot -1} = 1. \] Подставляем \( x = 1 \) в уравнение для нахождения максимума: \[ f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2. \] Таким образом, график этой части функции имеет максимум в точке (1, 2) и пересекает ось \( y \) в точке (0, 1).
Вторая часть функции: \( f(x) = -x + 2 \) для \( x > 2 \). Это - прямая, которая имеет отрицательный наклон и пересекает ось \( y \) в точке (0, 2).
Теперь построим график функции, определим важные точки:
- На интервале \( x \leq 2 \) - парабола, вершина которой в (1, 2).
- При \( x > 2 \) - прямая с угловым коэффициентом -1, которая начинается с точки (2, 0).
Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции в двух точках:
Найдём значения \( m \):
- Парабола пересекает прямую в двух точках, если прямая находится ниже максимума (высоты вершины параболы) и выше её "корней".
- Корни параболы можно найти, решив: \[ -x^2 + 2x + 1 = 0. \] Дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(1) = 4 + 4 = 8. \] Корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{-2} = 1 + \sqrt{2}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{-2} = 1 - \sqrt{2}. \]
Так как \( 1 - \sqrt{2} < 1 < 1 + \sqrt{2} \), максимальное значение функции \( f(x) \) равно 2.
Прямая \( y = m \) пересекает график функции в две точки, когда: \[ m < 2 \quad и \quad m \neq f(1 - \sqrt{2}) \quad и \quad m \neq f(1 + \sqrt{2}). \]
Таким образом, \( m \) должно лежать в промежутке: \[ m < 2, \quad m \neq f(1 - \sqrt{2}), \quad m \neq f(1 + \sqrt{2}). \] То есть \( m \) может принимать любые значения в интервале \( (-\infty, 2) \), кроме значения, равного 2.
