Выбери формулу вероятности события «наступило 3 успеха в серии из 13 испытаний Бернулли».

Для решения задачи о вероятности наступления определенного числа успехов в серии испытаний Бернулли мы используем формулу, основанную на биномиальном распределении. ### Формула биномиального распределения Вероятность того, что в серии из \( n \) независимых испытаний с вероятностью успеха \( p \) наступит ровно \( k \) успехов, выражается так: \[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} \] где: - \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, который считает количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. - \( p \) — вероятность успеха в одном испытании. - \( (1 - p) \) — вероятность неудачи в одном испытании. - \( n \) — общее количество испытаний. - \( k \) — количество успехов. ### Подстановка значений В нашей задаче: - \( n = 13 \) (общее количество испытаний), - \( k = 3 \) (число успехов). Вероятность успеха \( p \) не указана, но если мы предположим, что успех равновероятен (например, \( p = 0.5 \) — вероятность успеха в одном испытании), мы можем продолжить. #### 1. Находим биномиальный коэффициент Сначала найдем \( C(13, 3) \): \[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1716}{6} = 286 \] #### 2. Подставляем в формулу Теперь можем подставить все значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(13, 3) p^3 (1 - p)^{13 - 3} \] С подстановкой \( p \): \[ P(X = 3) = 286 \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{10} \] ### Итог Таким образом, формула, дающая вероятность того, что в 13 испытаниях будет ровно 3 успеха, имеет вид: \[ P(X = 3) = 286 \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{10} \] Чтобы найти конкретное значение вероятности, необходимо знать, какое значение будет у \( p \). Если, например, \( p = 0.5 \): \[ P(X = 3) = 286 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{10} = 286 \cdot (0.5)^{13} \] Теперь можно рассчитать полное значение вероятности.