Выбери формулу вероятности события «наступило 3 успеха в серии из 13 испытаний Бернулли».
Для решения задачи о вероятности наступления определенного числа успехов в серии испытаний Бернулли мы используем формулу, основанную на биномиальном распределении.
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что в серии из \( n \) независимых испытаний с вероятностью успеха \( p \) наступит ровно \( k \) успехов, выражается так:
\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, который считает количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.
- \( (1 - p) \) — вероятность неудачи в одном испытании.
- \( n \) — общее количество испытаний.
- \( k \) — количество успехов.
Подстановка значений
В нашей задаче:
- \( n = 13 \) (общее количество испытаний),
- \( k = 3 \) (число успехов).
Вероятность успеха \( p \) не указана, но если мы предположим, что успех равновероятен (например, \( p = 0.5 \) — вероятность успеха в одном испытании), мы можем продолжить.
1. Находим биномиальный коэффициент
Сначала найдем \( C(13, 3) \):
\[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1716}{6} = 286 \]
2. Подставляем в формулу
Теперь можем подставить все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = C(13, 3) p^3 (1 - p)^{13 - 3} \]
С подстановкой \( p \):
\[ P(X = 3) = 286 \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{10} \]
Итог
Таким образом, формула, дающая вероятность того, что в 13 испытаниях будет ровно 3 успеха, имеет вид:
\[ P(X = 3) = 286 \cdot p^3 \cdot (1 - p)^{10} \]
Чтобы найти конкретное значение вероятности, необходимо знать, какое значение будет у \( p \). Если, например, \( p = 0.5 \):
\[ P(X = 3) = 286 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{10} = 286 \cdot (0.5)^{13} \]
Теперь можно рассчитать полное значение вероятности.
