Для решения задачи начнем с того, что указан треугольник ABC, и на стороне AC взята точка D. Мы знаем, что AD = 4 см, DC = 7 см и площадь треугольника ABC равна 99 см². Нам нужно найти площадь меньшего из двух полученных треугольников (ABD и BDC), когда отрезок DB делит данный треугольник.
Шаг 1: Вычислим длину стороны AC
Сначала найдем длину стороны AC:
[
AC = AD + DC = 4 , \text{см} + 7 , \text{см} = 11 , \text{см}
]
Шаг 2: Найдем соотношение площадей треугольников
Поскольку отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника (ABD и BDC), можно использовать отношение площадей треугольников, которое пропорционально основаниям треугольников, так как они имеют общую высоту от точки B, опущенную на сторону AC.
Длину стороны AC мы уже нашли (11 см) и можем определить соотношение между AD и DC, которые служат основаниями треугольников ABD и BDC:
- Площадь треугольника ABD пропорциональна AD (4 см),
- Площадь треугольника BDC пропорциональна DC (7 см).
Шаг 3: Запишем отношение площадей
Теперь найдем отношение площадей треугольников ABD и BDC:
[
\frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{7}
]
Пусть ( S_{ABD} = 4k ) и ( S_{BDC} = 7k ), где ( k ) — это некоторый коэффициент.
Шаг 4: Найдем общую площадь треугольников
Сумма площадей треугольников будет равна площади треугольника ABC:
[
S_{ABD} + S_{BDC} = 4k + 7k = 11k
]
Согласно условию, площадь треугольника ABC равна 99 см²:
[
11k = 99
]
Шаг 5: Найдем значение k
Решим уравнение для ( k ):
[
k = \frac{99}{11} = 9
]
Шаг 6: Найдем площади треугольников
Теперь найдём площади треугольников:
[
S_{ABD} = 4k = 4 \times 9 = 36 , \text{см}^2
]
[
S_{BDC} = 7k = 7 \times 9 = 63 , \text{см}^2
]
Шаг 7: Найдем меньшую площадь
Теперь мы можем сравнить площади и найти меньшую из них:
Наименьшая площадь менее из двух:
[
\min(S_{ABD}, S_{BDC}) = \min(36 , \text{см}^2, 63 , \text{см}^2) = 36, \text{см}^2
]
Ответ:
Таким образом, площадь меньшего из двух треугольников составляет 36 см².
