дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=4 см, а DC=7 см. отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC…
Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=4 см, а DC=7 см. отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 99 см². Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольникой, ответ дай в квадратных сантиметрах
Для решения задачи начнем с того, что указан треугольник ABC, и на стороне AC взята точка D. Мы знаем, что AD = 4 см, DC = 7 см и площадь треугольника ABC равна 99 см². Нам нужно найти площадь меньшего из двух полученных треугольников (ABD и BDC), когда отрезок DB делит данный треугольник.
Шаг 1: Вычислим длину стороны AC
Сначала найдем длину стороны AC:
\[ AC = AD + DC = 4 \, \text{см} + 7 \, \text{см} = 11 \, \text{см} \]
Шаг 2: Найдем соотношение площадей треугольников
Поскольку отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника (ABD и BDC), можно использовать отношение площадей треугольников, которое пропорционально основаниям треугольников, так как они имеют общую высоту от точки B, опущенную на сторону AC.
Длину стороны AC мы уже нашли (11 см) и можем определить соотношение между AD и DC, которые служат основаниями треугольников ABD и BDC:
- Площадь треугольника ABD пропорциональна AD (4 см),
- Площадь треугольника BDC пропорциональна DC (7 см).
Шаг 3: Запишем отношение площадей
Теперь найдем отношение площадей треугольников ABD и BDC:
\[ \frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{7} \]
Пусть \( S_{ABD} = 4k \) и \( S_{BDC} = 7k \), где \( k \) — это некоторый коэффициент.
Шаг 4: Найдем общую площадь треугольников
Сумма площадей треугольников будет равна площади треугольника ABC:
\[ S_{ABD} + S_{BDC} = 4k + 7k = 11k \]
Согласно условию, площадь треугольника ABC равна 99 см²:
\[ 11k = 99 \]
Шаг 5: Найдем значение k
Решим уравнение для \( k \):
\[ k = \frac{99}{11} = 9 \]
Шаг 6: Найдем площади треугольников
Теперь найдём площади треугольников:
\[ S_{ABD} = 4k = 4 \times 9 = 36 \, \text{см}^2 \]
\[ S_{BDC} = 7k = 7 \times 9 = 63 \, \text{см}^2 \]
Шаг 7: Найдем меньшую площадь
Теперь мы можем сравнить площади и найти меньшую из них:
Наименьшая площадь менее из двух:
\[ \min(S_{ABD}, S_{BDC}) = \min(36 \, \text{см}^2, 63 \, \text{см}^2) = 36\, \text{см}^2 \]
Ответ:
Таким образом, площадь меньшего из двух треугольников составляет 36 см².
