f'(x)=sinx(3-x²)
Чтобы понять, как решить задачу, давайте рассмотрим, что представляют собой данные функции и производные. Ваша задача заключается в нахождении производной функции \( f(x) \), где её производная уже известна:
\[ f'(x) = \sin(x)(3 - x^2). \]
Шаг 1: Интегрирование
Чтобы найти оригинальную функцию \( f(x) \), нам нужно интегрировать \( f'(x) \). Мы используем правило интегрирования произведения, поскольку у нас есть произведение двух функций — \( \sin(x) \) и \( (3 - x^2) \).
Шаг 2: Применение интеграла
Для упрощения интегрирования, давайте разобьём \( f'(x) \) на два отдельных интеграла:
\[ f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \sin(x)(3 - x^2) \, dx. \]
Это можно записать как разность двух интегралов:
\[ f(x) = \int 3\sin(x) \, dx - \int x^2\sin(x) \, dx. \]
Шаг 3: Интеграл первого члена
Первая часть:
\[ \int 3\sin(x) \, dx = -3\cos(x) + C_1, \]
где \( C_1 \) — произвольная константа.
Шаг 4: Интеграл второго члена
Для второго интеграла \( \int x^2\sin(x) \, dx \) используется метод интегрирования по частям. Пусть:
- \( u = x^2 \) → \( du = 2x \, dx \)
- \( dv = \sin(x) \, dx \) → \( v = -\cos(x) \)
Теперь применим формулу интегрирования по частям:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]
Это даёт:
\[ \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int -\cos(x) \cdot (2x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx. \]
Для \( \int x \cos(x) \, dx \) снова применим интегрирование по частям:
- \( u = x \) → \( du = dx \)
- \( dv = \cos(x) \, dx \) → \( v = \sin(x) \)
Таким образом, получим:
\[ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x). \]
Шаг 5: Подстановка в выражение
Теперь вернёмся к нашему интегралу:
\[ \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2\left(x \sin(x) + \cos(x)\right). \]
Теперь у нас есть всё для окончательного ответа на \( f(x) \):
\[ f(x) = -3\cos(x) - \left(-x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x))\right) + C, \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 6: Итог
Таким образом,
\[ f(x) = -3\cos(x) + x^2 \cos(x) - 2x \sin(x) - 2\cos(x) + C, \]
или, упрощая,
\[ f(x) = (x^2 - 5)\cos(x) - 2x \sin(x) + C. \]
Это решение показывает, как от производной функции \( f'(x) \) перейти к самой функции \( f(x) \) через интегрирование. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные задачи!
