скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=4×t+9t^2 найти путь пройденным телом за 3 с от начала движения
Для решения задачи, давайте разберемся с формулой скорости и определим путь, пройденный телом за 3 секунды.
Дано:
Скорость тела \( v(t) = 4t + 9t^2 \)
Чтобы найти путь, пройденный телом за определённый период времени, необходимо проинтегрировать функцию скорости по времени.
Шаг 1: Найдем функцию пути.
Путь \( s(t) \) можно найти, взяв интеграл от функции скорости:
\[ s(t) = \int v(t) dt = \int (4t + 9t^2) dt \]
Теперь вычислим интеграл по частям:
- Интеграл от \( 4t \) равен \( 2t^2 \) (поскольку \( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \))
- Интеграл от \( 9t^2 \) равен \( 3t^3 \)
Таким образом, получаем:
\[ s(t) = 2t^2 + 3t^3 + C \]
Где \( C \) — это постоянная интегрирования. Если мы предполагаем, что тело начинается с нулевой позиции (при \( t = 0, s(0) = 0) \), то:
\[ C = 0 \]
Следовательно, формула для пути будет выглядеть так:
\[ s(t) = 2t^2 + 3t^3 \]
Шаг 2: Находим путь за 3 секунды.
Теперь подставим \( t = 3 \):
\[ s(3) = 2(3^2) + 3(3^3) \]
Сначала вычислим каждое слагаемое:
- \( 3^2 = 9 \), поэтому \( 2(3^2) = 2 \times 9 = 18 \)
- \( 3^3 = 27 \), поэтому \( 3(3^3) = 3 \times 27 = 81 \)
Теперь подставим значения обратно в формулу:
\[ s(3) = 18 + 81 = 99 \]
Ответ:
За 3 секунды тело пройдёт путь \( 99 \) метров.
