Для решения задачи, давайте разберемся с формулой скорости и определим путь, пройденный телом за 3 секунды.
Дано:
Скорость тела ( v(t) = 4t + 9t^2 )
Чтобы найти путь, пройденный телом за определённый период времени, необходимо проинтегрировать функцию скорости по времени.
Шаг 1: Найдем функцию пути.
Путь ( s(t) ) можно найти, взяв интеграл от функции скорости:
[
s(t) = \int v(t) dt = \int (4t + 9t^2) dt
]
Теперь вычислим интеграл по частям:
- Интеграл от ( 4t ) равен ( 2t^2 ) (поскольку ( \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C ))
- Интеграл от ( 9t^2 ) равен ( 3t^3 )
Таким образом, получаем:
[
s(t) = 2t^2 + 3t^3 + C
]
Где ( C ) — это постоянная интегрирования. Если мы предполагаем, что тело начинается с нулевой позиции (при ( t = 0, s(0) = 0) ), то:
[
C = 0
]
Следовательно, формула для пути будет выглядеть так:
[
s(t) = 2t^2 + 3t^3
]
Шаг 2: Находим путь за 3 секунды.
Теперь подставим ( t = 3 ):
[
s(3) = 2(3^2) + 3(3^3)
]
Сначала вычислим каждое слагаемое:
- ( 3^2 = 9 ), поэтому ( 2(3^2) = 2 \times 9 = 18 )
- ( 3^3 = 27 ), поэтому ( 3(3^3) = 3 \times 27 = 81 )
Теперь подставим значения обратно в формулу:
[
s(3) = 18 + 81 = 99
]
Ответ:
За 3 секунды тело пройдёт путь ( 99 ) метров.
