1) найти одну из первообразных

Чтобы найти одну из первообразных функции \( y = 5x^4 + 2x^3 \), мы применяем правило нахождения первообразных (интегрирования) для каждого слагаемого отдельно. Первообразная \( F(x) \) функции \( f(x) \) – это такая функция, производная которой равна \( f(x) \).

Функция дана:

\[ y = 5x^4 + 2x^3 \]

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. Для \( 5x^4 \):

   • Правило: \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \( C \) – произвольная постоянная.
   • Применяем правило: \(\int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5\).

2. Для \( 2x^3 \):

   • Применяем правило: \(\int 2x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}\).

Теперь сложим результаты:

\[ F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C \]

Таким образом, одна из первообразных функции \( y = 5x^4 + 2x^3 \) является:

\[ F(x) = x^5 + \frac{x^4}{2} + C \]

где \( C \) – произвольная постоянная.