Функция y = f(x) нечетная и для x > 0 задается формулойf(x) = - x ^ 2 - 1/x Найдите значение выражения f(- 2) - f(- 1/2)

Чтобы решить задачу, мы сначала должны понять, что такое нечетная функция.

Определение нечетной функции

Функция \( f(x) \) называется нечетной, если выполняется следующее условие: \[ f(-x) = -f(x) \] для любого значения \( x \).

Дано

Нам даны следующие данные:

• \( f(x) = -x^2 - \frac{1}{x} \) для \( x > 0 \).
• Нужно найти значение \( f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) \).

Шаг 1: Определим \( f(-2) \)

Сначала мы найдем значение \( f(-2) \). Для этого мы используем свойство нечетной функции: \[ f(-x) = -f(x). \] То есть: \[ f(-2) = -f(2). \] Теперь вычислим \( f(2) \): \[ f(2) = -2^2 - \frac{1}{2} = -4 - \frac{1}{2} = -4.5 = -\frac{9}{2}. \] Теперь подставим в формулу для \( f(-2) \): \[ f(-2) = -f(2) = -\left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}. \]

Шаг 2: Определим \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \)

Теперь найдем \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \): \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right). \] Вычислим \( f\left(\frac{1}{2}\right) \): \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4} - 2 = -\frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}. \] Теперь подставим в формулу для \( f\left(-\frac{1}{2}\right) \): \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}. \]

Шаг 3: Найдите значение выражения

Теперь мы можем найти требуемое значение: \[ f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{4}. \] Чтобы выполнить это вычитание, приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{9}{2} = \frac{18}{4}, \] поэтому: \[ f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{18}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}. \]

Ответ

Таким образом, значение выражения \( f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) \) равно: \[ \frac{9}{4}. \]