Чтобы решить задачу, мы сначала должны понять, что такое нечетная функция.
Определение нечетной функции
Функция ( f(x) ) называется нечетной, если выполняется следующее условие:
[
f(-x) = -f(x)
]
для любого значения ( x ).
Дано
Нам даны следующие данные:
- ( f(x) = -x^2 - \frac{1}{x} ) для ( x > 0 ).
- Нужно найти значение ( f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) ).
Шаг 1: Определим ( f(-2) )
Сначала мы найдем значение ( f(-2) ). Для этого мы используем свойство нечетной функции:
[
f(-x) = -f(x).
]
То есть:
[
f(-2) = -f(2).
]
Теперь вычислим ( f(2) ):
[
f(2) = -2^2 - \frac{1}{2} = -4 - \frac{1}{2} = -4.5 = -\frac{9}{2}.
]
Теперь подставим в формулу для ( f(-2) ):
[
f(-2) = -f(2) = -\left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}.
]
Шаг 2: Определим ( f\left(-\frac{1}{2}\right) )
Теперь найдем ( f\left(-\frac{1}{2}\right) ):
[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right).
]
Вычислим ( f\left(\frac{1}{2}\right) ):
[
f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4} - 2 = -\frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}.
]
Теперь подставим в формулу для ( f\left(-\frac{1}{2}\right) ):
[
f\left(-\frac{1}{2}\right) = -f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4}.
]
Шаг 3: Найдите значение выражения
Теперь мы можем найти требуемое значение:
[
f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{4}.
]
Чтобы выполнить это вычитание, приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{9}{2} = \frac{18}{4},
]
поэтому:
[
f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{18}{4} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}.
]
Ответ
Таким образом, значение выражения ( f(-2) - f\left(-\frac{1}{2}\right) ) равно:
[
\frac{9}{4}.
]
