Б

Давайте разберём каждое из заданий.

Задача 1

Найдите вектор \( \mathbf{c} \), равный сумме векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), и абсолютную величину вектора \( \mathbf{c} \), если \(\mathbf{a} = (1; -4)\), \(\mathbf{b} = (4; 8)\).

Решение:

1. Сумма векторов: Чтобы найти сумму векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), сложим их соответствующие компоненты: \[ \mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (1 + 4, -4 + 8) = (5, 4) \]

2. Абсолютная величина (длина) вектора \( \mathbf{c} \): Абсолютная величина вектора \(\mathbf{c} = (5, 4)\) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{c}| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \]

Таким образом, вектор \( \mathbf{c} = (5, 4) \) и его абсолютная величина равна \(\sqrt{41}\).

Задача 2

Постройте разность векторов, изображенных на рисунке:

К сожалению, я не могу точно интерпретировать и анализировать изображения, но обычно разность векторов определяется так: \[ \mathbf{d} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = \mathbf{a} + (-\mathbf{b}) \] где \(-\mathbf{b}\) — это вектор, противоположный \(\mathbf{b}\). Разность векторов графически строится как сумма одного вектора и вектора, противоположного другому.

Задача 3

Даны точки \( A (1; -5) \), \( B (3; 2) \), \( C (4; 0) \), \( M (-3; 4) \). Найдите:

1. Координаты векторов \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{MC} \):

   • Вектор \( \mathbf{AB} \) определяется как разность координат конечной и начальной точек: \[ \mathbf{AB} = (3 - 1, 2 - (-5)) = (2, 7) \]

   • Вектор \( \mathbf{MC} \): \[ \mathbf{MC} = (4 - (-3), 0 - 4) = (7, -4) \]

2. Вектор, в три раза равный \(3\mathbf{AB} - 2\mathbf{MC}\):

   Сначала посчитаем \(3\mathbf{AB}\) и \(2\mathbf{MC}\):

   • \(3\mathbf{AB} = 3 \times (2, 7) = (6, 21)\)
   • \(2\mathbf{MC} = 2 \times (7, -4) = (14, -8)\)

   Теперь найдём разность этих векторов:

   \[ 3\mathbf{AB} - 2\mathbf{MC} = (6 - 14, 21 - (-8)) = (-8, 29) \]

3. Скалярное произведение \( \mathbf{BC} \) и \( \mathbf{AM} \):

   • Сначала найдём координаты векторов: \[ \mathbf{BC} = (4 - 3, 0 - 2) = (1, -2) \] \[ \mathbf{AM} = (-3 - 1, 4 - (-5)) = (-4, 9) \]

   • Скалярное произведение: \[ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{AM} = 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot 9 = -4 - 18 = -22 \]

Таковы решения каждой из задач. Если есть вопросы, могу объяснить подробнее!