1.Дано пространство элементарных исходов опыта Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. В ходе этого опыта случайным образом выбирают одно число. Какова вероятность наступления события А…
1.Дано пространство элементарных исходов опыта Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. В ходе этого опыта случайным образом выбирают одно число. Какова вероятность наступления события А ∪ В, если событие А – «выбрано число больше 3, но меньше или равно 9», событие В – «выбрано число, которое является делителем 6»?
Чтобы решить задачу, сначала определим события \( A \) и \( B \) и найдем их вероятность.
Шаг 1: Определение событий
Событие \( A \): "выбрано число больше 3, но меньше или равно 9".
- Пространство элементарных исходов \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Числа, которые удовлетворяют условию: \( \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Таким образом, \( A = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
- Количество благоприятных исходов для события \( A \): \( |A| = 6 \).
Событие \( B \): "выбрано число, которое является делителем 6".
- Делители числа 6: \( 1, 2, 3, 6 \).
- Таким образом, \( B = \{1, 2, 3, 6\} \).
- Количество благоприятных исходов для события \( B \): \( |B| = 4 \).
Шаг 2: Находим пересечение событий
Теперь найдем пересечение \( A \) и \( B \) (то есть \( A \cap B \)), чтобы использовать формулу для вероятности объединения событий:
\[ A \cap B = A \text{ и } B \]
- Элементы, которые находятся в обеих множествах:
- \( A = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \)
- \( B = \{1, 2, 3, 6\} \)
- Пересечение \( A \cap B = \{6\} \).
- Поэтому \( |A \cap B| = 1 \).
Шаг 3: Находим вероятность событий
Общая формула для вычисления вероятности объединения двух событий:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Теперь рассчитаем вероятности:
Общее количество элементарных исходов \( |\Omega| = 9 \).
Вероятность события \( A \): \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
Вероятность события \( B \): \[ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{4}{9} \]
Вероятность пересечения \( A \) и \( B \): \[ P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} = \frac{1}{9} \]
Шаг 4: Считаем вероятность \( P(A \cup B) \)
Теперь подставим найденные значения в формулу:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \]
Для вычислений приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9:
\[ P(A) = \frac{2}{3} = \frac{6}{9} \]
Теперь подставим:
\[ P(A \cup B) = \frac{6}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{6 + 4 - 1}{9} = \frac{9}{9} = 1. \]
Итог
Вероятность наступления события \( A \cup B \) равна \( 1 \). Это означает, что при случайном выборе числа из данного пространства элементарных исходов всегда будет выполнено хотя бы одно из условий событий \( A \) или \( B \).
