Точка 𝑃 лежит на описанной окружности квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝑃𝐴⋅𝑃𝐶=56, 𝑃𝐵⋅𝑃𝐷=90. Найдите плошадь 𝐴𝐵𝐶𝐷. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

Для решения задачи нам нужно использовать свойства окружности и квадрата, а также теорему о произведении отрезков.

1. Определение: Обозначим длину стороны квадрата \(s\). Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — это вершины квадрата, расположенные в следующем порядке: \(A\) в верхнем левом углу, \(B\) в верхнем правом, \(C\) в нижнем правом и \(D\) в нижнем левом.

2. Построение уравнений:

   • Поскольку точка \(P\) лежит на окружности квадрата, для нее выполнены следующие соотношения:
     • \(PA \cdot PC = s^2\)
     • \(PB \cdot PD = s^2\)

3. Запись данных из условия задачи:

   • Из условия находим: \[ PA \cdot PC = 56 \] \[ PB \cdot PD = 90 \]

4. Составление уравнений:

   • Из признания, что для точки \(P\) справедливо \(PA\cdot PC = s^2\) и \(PB\cdot PD = s^2\), получаем: \[ s^2 = 56 \quad \text{(1)} \] \[ s^2 = 90 \quad \text{(2)} \]

   Однако из (1) и (2) сразу видно, что существует ошибка: продуктивные отрезки \(PA \cdot PC\) и \(PB \cdot PD\) равны, поэтому они должны давать одно значение. На самом деле это два разных произведения для разных пар отрезков.

5. Используем теорему о произведении отрезков:

   • Составляем уравнение: \[ PA \cdot PC = s^2 - (PB \cdot PD) \]
   • Нехитрый расчет дает: \[ 56 + 90 = s^2 \implies s^2 = 56 + 90 = 146 \]

6. Определение площади квадрата:

   • Площадь квадрата \(S\) равна \(s^2\): \[ S = s^2 = 146 \]

Ответ: площадь квадрата \(A B C D\) равна 146.000.