В треугольнике ABC AB=4, BC=5, AC=6. Укажите меньший угол треугольника

Для того чтобы найти меньший угол треугольника ABC с заданными сторонами AB = 4, BC = 5 и AC = 6, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет найти угол треугольника по длинам его сторон.

Теорема косинусов утверждает, что:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

где:

• \( c \) — сторона, противоположная углу \( C \),
• \( a \) и \( b \) — другие две стороны,
• \( C \) — угол, который мы хотим найти.

Шаг 1: Определение сторон треугольника

Назовем:

• \( a = BC = 5 \) (сторона, противоположная углу A),
• \( b = AC = 6 \) (сторона, противоположная углу B),
• \( c = AB = 4 \) (сторона, противоположная углу C).

Шаг 2: Найдем углы

1. Найдем угол A:

По теореме косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(A) \]

Подставляем значения:

\[ 4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(A) \]

Это упрощается до:

\[ 16 = 25 + 36 - 60 \cdot \cos(A) \] \[ 16 = 61 - 60 \cdot \cos(A) \]

Переносим 61 на левую сторону:

\[ 60 \cdot \cos(A) = 61 - 16 \] \[ 60 \cdot \cos(A) = 45 \] \[ \cos(A) = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \] \[ A = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \]

2. Найдем угол B:

Теперь используем теорему косинусов для угла B:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(B) \] Подставляем значения:

\[ 5^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(B) \]

Это упрощается до:

\[ 25 = 36 + 16 - 48 \cdot \cos(B) \] \[ 25 = 52 - 48 \cdot \cos(B) \]

Переносим 52 на левую сторону:

\[ 48 \cdot \cos(B) = 52 - 25 \] \[ 48 \cdot \cos(B) = 27 \] \[ \cos(B) = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} \] \[ B = \cos^{-1}\left(\frac{9}{16}\right) \]

3. Найдем угол C:

Для угла C:

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(C) \]

Подставляем значения:

\[ 6^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(C) \]

Это упрощается до:

\[ 36 = 25 + 16 - 40 \cdot \cos(C) \] \[ 36 = 41 - 40 \cdot \cos(C) \]

Переносим 41 на левую сторону:

\[ 40 \cdot \cos(C) = 41 - 36 \] \[ 40 \cdot \cos(C) = 5 \] \[ \cos(C) = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \] \[ C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) \]

Шаг 3: Сравнение углов

Теперь у нас есть значения для углов A, B и C. Для определения меньшего угла нам нужно сравнить их:

• \( A = \cos^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
• \( B = \cos^{-1}\left(\frac{9}{16}\right) \)
• \( C = \cos^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) \)

Выражая эти косинусы в числовом виде (или сравнивая их), мы увидим, что:

• \( A \), \( B \) и \( C \) таковы: угол C будет наибольшим (так как его косинус наименьший), а угол A по величине будет наименьшим.

Ответ

Таким образом, меньший угол в треугольнике ABC — это угол A.