√4-x+√5+x=3
Решим уравнение:
\[ \sqrt{4 - x} + \sqrt{5 + x} = 3 \]
Шаг 1: Изолируем один из корней
Для начала изолируем один из корней. Возьмем, например, \(\sqrt{4 - x}\):
\[ \sqrt{4 - x} = 3 - \sqrt{5 + x} \]
Шаг 2: Возводим обе стороны уравнения в квадрат
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат:
\[ (\sqrt{4 - x})^2 = (3 - \sqrt{5 + x})^2 \]
Раскроем обе стороны:
\[ 4 - x = 9 - 6\sqrt{5 + x} + (5 + x) \]
Упростим правую часть:
\[ 4 - x = 14 + x - 6\sqrt{5 + x} \]
Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону
Переносим все на одну сторону, чтобы собирать подобные:
\[ 4 - x - 14 - x = -6\sqrt{5 + x} \]
Упрощаем:
\[ -2x - 10 = -6\sqrt{5 + x} \]
Шаг 4: Убираем отрицательные знаки
Умножим обе стороны на -1 для удобства:
\[ 2x + 10 = 6\sqrt{5 + x} \]
Шаг 5: Изолируем корень и возводим в квадрат снова
Теперь изолируем \(\sqrt{5 + x}\):
\[ \sqrt{5 + x} = \frac{2x + 10}{6} \]
Упрощаем:
\[ \sqrt{5 + x} = \frac{x + 5}{3} \]
Возводим обе стороны в квадрат:
\[ 5 + x = \left(\frac{x + 5}{3}\right)^2 \]
Шаг 6: Упрощаем и решаем квадратное уравнение
Раскроем правую сторону:
\[ 5 + x = \frac{(x + 5)^2}{9} \]
Умножим обе стороны на 9:
\[ 9(5 + x) = (x + 5)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 45 + 9x = x^2 + 10x + 25 \]
Приведем все к одной стороне:
\[ 0 = x^2 + 10x + 25 - 9x - 45 \]
Упрощаем:
\[ 0 = x^2 + x - 20 \]
Шаг 7: Решаем квадратное уравнение
Теперь можем найти корни с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \]
Корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2} \]
Таким образом:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Шаг 8: Проверка корней
Теперь нужно проверить, подходят ли найденные корни в исходное уравнение:
- Для \(x = 4\):
\[ \sqrt{4 - 4} + \sqrt{5 + 4} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3 \quad \text{(верно)} \]
- Для \(x = -5\):
\[ \sqrt{4 - (-5)} + \sqrt{5 + (-5)} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3 \quad \text{(верно)} \]
Ответ
Таким образом, оба корня \(x = 4\) и \(x = -5\) являются решениями данного уравнения.
