√4-x+√5+x=3

Решим уравнение: \[ \sqrt{4 - x} + \sqrt{5 + x} = 3 \] ### Шаг 1: Изолируем один из корней Для начала изолируем один из корней. Возьмем, например, \(\sqrt{4 - x}\): \[ \sqrt{4 - x} = 3 - \sqrt{5 + x} \] ### Шаг 2: Возводим обе стороны уравнения в квадрат Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат: \[ (\sqrt{4 - x})^2 = (3 - \sqrt{5 + x})^2 \] Раскроем обе стороны: \[ 4 - x = 9 - 6\sqrt{5 + x} + (5 + x) \] Упростим правую часть: \[ 4 - x = 14 + x - 6\sqrt{5 + x} \] ### Шаг 3: Переносим все элементы на одну сторону Переносим все на одну сторону, чтобы собирать подобные: \[ 4 - x - 14 - x = -6\sqrt{5 + x} \] Упрощаем: \[ -2x - 10 = -6\sqrt{5 + x} \] ### Шаг 4: Убираем отрицательные знаки Умножим обе стороны на -1 для удобства: \[ 2x + 10 = 6\sqrt{5 + x} \] ### Шаг 5: Изолируем корень и возводим в квадрат снова Теперь изолируем \(\sqrt{5 + x}\): \[ \sqrt{5 + x} = \frac{2x + 10}{6} \] Упрощаем: \[ \sqrt{5 + x} = \frac{x + 5}{3} \] Возводим обе стороны в квадрат: \[ 5 + x = \left(\frac{x + 5}{3}\right)^2 \] ### Шаг 6: Упрощаем и решаем квадратное уравнение Раскроем правую сторону: \[ 5 + x = \frac{(x + 5)^2}{9} \] Умножим обе стороны на 9: \[ 9(5 + x) = (x + 5)^2 \] Раскроем скобки: \[ 45 + 9x = x^2 + 10x + 25 \] Приведем все к одной стороне: \[ 0 = x^2 + 10x + 25 - 9x - 45 \] Упрощаем: \[ 0 = x^2 + x - 20 \] ### Шаг 7: Решаем квадратное уравнение Теперь можем найти корни с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{2} \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \] ### Шаг 8: Проверка корней Теперь нужно проверить, подходят ли найденные корни в исходное уравнение: 1. Для \(x = 4\): \[ \sqrt{4 - 4} + \sqrt{5 + 4} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3 \quad \text{(верно)} \] 2. Для \(x = -5\): \[ \sqrt{4 - (-5)} + \sqrt{5 + (-5)} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3 \quad \text{(верно)} \] ### Ответ Таким образом, оба корня \(x = 4\) и \(x = -5\) являются решениями данного уравнения.