√(х+4)2-√(х-1)2

Для решения задачи \(\sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2}\) давайте разберемся с каждым элементом и упрощением по шагам. ### Шаг 1: Упрощение квадратных корней Первым делом, вспомним, что: \[ \sqrt{a^2} = |a| \] Это означает, что мы берем модуль \( a \). Таким образом, мы можем переписать нашу задачу: \[ \sqrt{(x+4)^2} = |x + 4| \] \[ \sqrt{(x-1)^2} = |x - 1| \] Теперь подставим это в наше выражение: \[ |x + 4| - |x - 1| \] ### Шаг 2: Определение случаев Теперь нам нужно рассмотреть два различных случая, так как модуль зависит от знака: **Случай 1:** \( x + 4 \geq 0 \) и \( x - 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq -4 \) и \( x \geq 1 \), что означает \( x \geq 1 \)) В этом случае: \[ |x + 4| = x + 4 \] \[ |x - 1| = x - 1 \] Тогда: \[ |x + 4| - |x - 1| = (x + 4) - (x - 1) = 5 \] **Случай 2:** \( x + 4 \geq 0 \) и \( x - 1 < 0 \) (т.е. \( x \geq -4 \) и \( x < 1 \), что означает \( -4 \leq x < 1 \)) Здесь: \[ |x + 4| = x + 4 \] \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] Соответственно, наш результат становится: \[ |x + 4| - |x - 1| = (x + 4) - (-x + 1) = 2x + 3 \] **Случай 3:** \( x + 4 < 0 \) и \( x - 1 < 0 \) (т.е. \( x < -4 \)) Тогда: \[ |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 \] \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \] Так что: \[ |x + 4| - |x - 1| = (-x - 4) - (-x + 1) = -5 \] ### Шаг 3: Итоговый результат Теперь давайте подведем итог и запишем результаты: - Для \( x \geq 1 \): Результат = \( 5 \) - Для \( -4 \leq x < 1 \): Результат = \( 2x + 3 \) - Для \( x < -4 \): Результат = \( -5 \) Таким образом, в зависимости от значения \( x \), мы можем определить результат выражения \(\sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2}\).Это завершает решение данной задачи.