√(х+4)2-√(х-1)2
Для решения задачи \(\sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2}\) давайте разберемся с каждым элементом и упрощением по шагам.
Шаг 1: Упрощение квадратных корней
Первым делом, вспомним, что:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
Это означает, что мы берем модуль \( a \). Таким образом, мы можем переписать нашу задачу:
\[ \sqrt{(x+4)^2} = |x + 4| \] \[ \sqrt{(x-1)^2} = |x - 1| \]
Теперь подставим это в наше выражение:
\[ |x + 4| - |x - 1| \]
Шаг 2: Определение случаев
Теперь нам нужно рассмотреть два различных случая, так как модуль зависит от знака:
Случай 1: \( x + 4 \geq 0 \) и \( x - 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq -4 \) и \( x \geq 1 \), что означает \( x \geq 1 \))
В этом случае:
\[ |x + 4| = x + 4 \] \[ |x - 1| = x - 1 \]
Тогда:
\[ |x + 4| - |x - 1| = (x + 4) - (x - 1) = 5 \]
Случай 2: \( x + 4 \geq 0 \) и \( x - 1 < 0 \) (т.е. \( x \geq -4 \) и \( x < 1 \), что означает \( -4 \leq x < 1 \))
Здесь:
\[ |x + 4| = x + 4 \] \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \]
Соответственно, наш результат становится:
\[ |x + 4| - |x - 1| = (x + 4) - (-x + 1) = 2x + 3 \]
Случай 3: \( x + 4 < 0 \) и \( x - 1 < 0 \) (т.е. \( x < -4 \))
Тогда:
\[ |x + 4| = -(x + 4) = -x - 4 \] \[ |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 \]
Так что:
\[ |x + 4| - |x - 1| = (-x - 4) - (-x + 1) = -5 \]
Шаг 3: Итоговый результат
Теперь давайте подведем итог и запишем результаты:
- Для \( x \geq 1 \): Результат = \( 5 \)
- Для \( -4 \leq x < 1 \): Результат = \( 2x + 3 \)
- Для \( x < -4 \): Результат = \( -5 \)
Таким образом, в зависимости от значения \( x \), мы можем определить результат выражения \(\sqrt{(x+4)^2} - \sqrt{(x-1)^2}\).Это завершает решение данной задачи.
