Разложите на множитель двучлен: 64a^6-b^6

Чтобы разложить на множитель двучлен \( 64a^6 - b^6 \), мы можем воспользоваться разложением разности квадратов и признаками формул разложения. ### Шаг 1: Упрощение выражения Сначала заметим, что \( 64a^6 \) можно представить в виде \( (8a^3)^2 \), и \( b^6 \) можно представить в виде \( (b^3)^2 \). Это позволит нам использовать формулу разности квадратов, которая выглядит следующим образом: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \] Где \( A = 8a^3 \) и \( B = b^3 \). ### Шаг 2: Применение формулы разности квадратов Теперь, подставляя наши значения \( A \) и \( B \): \[ 64a^6 - b^6 = (8a^3)^2 - (b^3)^2 = (8a^3 - b^3)(8a^3 + b^3) \] ### Шаг 3: Разложение кубов (при необходимости) Далее мы можем разложить \( 8a^3 - b^3 \) и \( 8a^3 + b^3 \) дополнительно, используя формулы разложения для разности и суммы кубов. Формула для разности кубов: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Формула для суммы кубов: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] ### Применим эти формулы к \( 8a^3 - b^3 \): Для \( 8a^3 - b^3 \): \[ 8a^3 - b^3 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) \] И для \( 8a^3 + b^3 \): \[ 8a^3 + b^3 = (2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2) \] ### Шаг 4: Подсуммируем все Теперь мы можем представить полное разложение: \[ 64a^6 - b^6 = (8a^3 - b^3)(8a^3 + b^3) \] Подставляем разложенные формы: \[ 64a^6 - b^6 = (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)(2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2) \] ### Ответ Окончательно, двучлен \( 64a^6 - b^6 \) разложен на множители: \[ (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2)(2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2) \] Это и будет искомое разложение.