Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 6 часов. Если первый тракторист проработает самостоятельно 4 часа, а затем его сменит второй, то этот тракторист закончит вспашку за 9 часов. За какое время, работая самостоятельно, может вспахать поле каждый тракторист?

Давайте решим задачу по шагам. 1. **Определим основные данные**. Пусть первый тракторист (Т1) вспахивает всё поле за \(x\) часов, а второй тракторист (Т2) — за \(y\) часов. 2. **Запишем производительность трактористов**. Производительность тракториста — это часть поля, которую он может вспахать за час: - Т1: \(\frac{1}{x}\) часть поля за 1 час. - Т2: \(\frac{1}{y}\) часть поля за 1 час. 3. **Определим совместную производительность**. Работая вместе, трактористы вспахивают поле за 6 часов, значит, их совместная производительность будет равна: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \] 4. **Рассмотрим случай, когда Т1 работает 4 часа, а затем Т2 берет его место**. - Первоначально Т1 работает 4 часа и выполняет: \[ \text{Работа Т1} = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x} \] - После этого Т2 заканчивает оставшуюся часть работы. Время, которое он на это потратит, составляет 9 часов, так что он выполняет: \[ \text{Работа Т2} = 9 \cdot \frac{1}{y} = \frac{9}{y} \] 5. **Запишем уравнение для оставшейся части работы**. Сумма работы Т1 и Т2 равна целому полю (1): \[ \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1 \] 6. **Теперь у нас есть система уравнений**: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad \text{(1)} \] \[ \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1 \quad \text{(2)} \] 7. **Решим уравнение (1)** для \(\frac{1}{y}\): \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{x} \] Подставим это в уравнение (2): \[ \frac{4}{x} + 9\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{x}\right) = 1 \] Упростим: \[ \frac{4}{x} + \frac{9}{6} - \frac{9}{x} = 1 \] \[ \frac{4 - 9}{x} + \frac{3}{2} = 1 \] \[ -\frac{5}{x} + \frac{3}{2} = 1 \] Переносим \(1\) влево: \[ -\frac{5}{x} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \] Умножая обе части на -1: \[ \frac{5}{x} = \frac{1}{2} \] Теперь найдем \(x\): \[ x = 10 \] 8. **Теперь найдем y**, подставим значение \(x\) обратно в уравнение (1): \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} \] Найдем общий знаменатель (30): \[ \frac{1}{y} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \] Таким образом, \(y = 15\). 9. **Ответ**: Первый тракторист может вспахать поле за 10 часов, а второй — за 15 часов. Итак, мы выяснили, что: - Первый тракторист (Т1) вспахивает поле за 10 часов. - Второй тракторист (Т2) вспахивает поле за 15 часов.