Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть каждое из предложенных выражений и упростить их, чтобы понять, какое из них равно ( \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Давайте начнем с первого выражения:
1. Выражение:
[ \sin(23^\circ) \cdot \cos(37^\circ) + \cos(23^\circ) \cdot \sin(37^\circ) ]
Это выражение можно упростить с помощью формулы синуса суммы:
[ \sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos(a) \sin(b) ]
где ( a = 23^\circ ) и ( b = 37^\circ ).
Подставляем:
[ \sin(23^\circ + 37^\circ) = \sin(60^\circ) ]
Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то первое выражение равно ( \frac{\sqrt{3}}{2} ).
2. Выражение:
[ \sin(54^\circ) \cdot \cos(24^\circ) - \cos(54^\circ) \cdot \sin(24^\circ) ]
Используем формулу синуса разности:
[ \sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b) ]
где ( a = 54^\circ ) и ( b = 24^\circ ).
Подставляем:
[ \sin(54^\circ - 24^\circ) = \sin(30^\circ) ]
Зная, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), то второе выражение равно ( \frac{1}{2} ).
3. Выражение:
[ \frac{\tan(18^\circ) + \tan(12^\circ)}{1 - \tan(18^\circ) \cdot \tan(12^\circ)} ]
Это выражение можно упростить с помощью формулы тангенса суммы:
[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a) \cdot \tan(b)} ]
где ( a = 18^\circ ) и ( b = 12^\circ ).
Подставляем:
[ \tan(18^\circ + 12^\circ) = \tan(30^\circ) ]
Зная, что ( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ), то третье выражение равно ( \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Итог:
Из трёх предложенных выражений, только третье:
[ \frac{\tan(18^\circ) + \tan(12^\circ)}{1 - \tan(18^\circ) \cdot \tan(12^\circ)} ]
имеет значение ( \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Таким образом, ответ на ваш вопрос — это третье выражение.
