Вариант 3 1. Дана арифметическая прогрессия -6; -3; .... а) Найдите ее четырнадцатый член. 6) Найдите сумму ее первых семнадцати членов. 2. В геометрической прогрессии (ап) с…

Давайте по порядку решим каждую из задач.

Задача 1

Арифметическая прогрессия: -6, -3, ...

а) Найдите четырнадцатый член.

Решение:

1. Найдем первый член (a1) и разность (d) данной последовательности:

   • Первый член: \( a_1 = -6 \)
   • Разность: \[ d = a_2 - a_1 = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3 \]

2. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) d \]

3. Подставляем значения для \( n = 14 \): \[ a_{14} = -6 + (14-1) \cdot 3 \] \[ a_{14} = -6 + 13 \cdot 3 \] \[ a_{14} = -6 + 39 = 33 \]

Ответ: Четырнадцатый член равен 33.

б) Найдите сумму первых семнадцати членов.

Решение:

1. Формула для суммы \( S_n \) первых n членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \]

2. Сначала находим 17-й член: \[ a_{17} = a_1 + (17-1) \cdot d = -6 + 16 \cdot 3 \] \[ a_{17} = -6 + 48 = 42 \]

3. Теперь подставим в формулу суммы: \[ S_{17} = \frac{17}{2} (-6 + 42) = \frac{17}{2} \cdot 36 = 17 \cdot 18 = 306 \]

Ответ: Сумма первых семнадцати членов равна 306.

Задача 2

Геометрическая прогрессия: \( a_2 = 8 \), \( a_{-7} \) (предполагаем, что это \( a_7 \)).

Решение:

1. По определению геометрической прогрессии, следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент \( q \). Поэтому: \[ a_1 = \frac{a_2}{q} \quad \text{и} \quad a_2 = a_1 \cdot q \]

2. Из условия: \[ a_2 = 8 \quad / \quad a_1 = 8 / q \]

3. Теперь автоматически вычисляем другие члены:

   • \( a_3 = a_2 \cdot q = 8q \)
   • \( a_4 = 8q^2 \)
   • \( a_5 = 8q^3 \)
   • \( a_6 = 8q^4 \)
   • \( a_7 = 8q^5 \)

Поскольку находим сумму первых 5 членов: \[ S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{8}{q} + 8 + 8q + 8q^2 + 8q^3 \] Сумма каждого из членов: \[ = 8 \left( \frac{1}{q} + 1 + q + q^2 + q^3 \right) \] Сумма: \[ = 8 \cdot \left( \frac{(q^4 - 1)}{(q - 1)\cdot q} \right) \]

Если переменная q такова, что вся сумма (включая его) равна 40, нам нужно точно знать ориентацию.

Задача 3

Арифметическая прогрессия: С, -3, С-1.

Решение:

1. Сравниваем члены прогрессии: Разность между первым и вторым членами: \[ -3 - C \] Разность между вторым и третьим членами: \[ (C - 1) - (-3) = C + 2 \]

2. Поскольку это арифметическая прогрессия, разности одинаковы: \[ -3 - C = C + 2 \]

3. Упрощаем уравнение: \[ -3 - 2 = C + C \] \[ -5 = 2C \] \[ C = -\frac{5}{2} = -2.5 \]

Ответ: С = -2.5

Задача 4

Геометрическая прогрессия: ...; х; 6; 24; ...

Решение:

1. Обозначим \( a \) как член перед х: \[ a, х, 6, 24 \]
2. Определим отношение (q): \[ \frac{6}{х} = \frac{24}{6} \] Отсюда: \[ q = 4 \Longleftrightarrow х = \frac{6}{4} = 1.5 \]

Ответ: x = 1.5

Задача 5

Арифметическая прогрессия: первый член = 23, пятый = 3.

Решение:

1. Записываем уравнение: \[ a_5 = a_1 + 4d = 3 \] Подставляем \( a_1 = 23 \): \[ 23 + 4d = 3 \Longrightarrow 4d = 3 - 23 = -20 \Longrightarrow d = -5 \]

2. Теперь находим, является ли число -62 членом прогрессии: Используем общее выражение: \[ a_n = 23 + (n-1)(-5) \] Уравнение для n: \[ -62 = 23 + (n-1)(-5) \] \[ -62 - 23 = (n-1)(-5) \Longrightarrow -85 = -5(n - 1) \Longrightarrow n - 1 = 17 \Longrightarrow n = 18 \]

Ответ: Да, -62 является членом прогрессии, номер 18.