Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1 в. f(x) = 3x^2 - 2x + 1 на отрезке [-1:4]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) на отрезке \([-1, 4]\), нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала мы найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 1) = 6x - 2. \]
Шаг 2: Найти критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 6x - 2 = 0. \] Решаем это уравнение: \[ 6x = 2 \\ x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Шаг 3: Проверить, находятся ли критические точки на отрезке
Теперь проверим, находится ли \( x = \frac{1}{3} \) на отрезке \([-1, 4]\). Так как \(-1 < \frac{1}{3} < 4\), эта точка допустима.
Шаг 4: Вычислить значения функции
Теперь мы найдем значения функции \( f(x) \) на границах отрезка и в критической точке:
На левой границе \( x = -1 \): \[ f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 3 \cdot 1 + 2 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6. \]
На критической точке \( x = \frac{1}{3} \): \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}. \]
На правой границе \( x = 4 \): \[ f(4) = 3(4)^2 - 2(4) + 1 = 3 \cdot 16 - 8 + 1 = 48 - 8 + 1 = 41. \]
Шаг 5: Сравнить значения
Теперь у нас есть три значения функции:
- \( f(-1) = 6 \)
- \( f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \approx 0.67 \)
- \( f(4) = 41 \)
Теперь сравним их:
- Наименьшее значение: \( \frac{2}{3} \).
- Наибольшее значение: \( 41 \).
Ответ
- Наименьшее значение функции на отрезке \([-1, 4]\) равно \( \frac{2}{3} \).
- Наибольшее значение функции на отрезке \([-1, 4]\) равно \( 41 \).
