3. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка С так, что AK = 6 см, KC = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если AB = 13CM BC = 14CM РЕШАТЬ НЕ ЧЕРЕЗ СИНУС

Для решения задачи найдем площади треугольников \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBK \) без использования синусов, применяя метод выделения площадей через сумму.

Шаг 1: Найдем площадь всего треугольника \( \triangle ABC \)

Для начала определим вершины нашего треугольника:

• \( A \)
• \( B \)
• \( C \)

Мы знаем длины сторон \( AB \) и \( BC \), но нам необходима длина стороны \( AC \) для вычисления площади треугольника \( ABC \). Тем не менее, в данной задаче можно воспользоваться формулой Герона, которая позволяет найти площадь треугольника, если известны длины всех трех сторон.

Сначала нам нужно найти сторону \( AC \): \[ AC = AK + KC = 6 \, \text{см} + 9 \, \text{см} = 15 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть все стороны треугольника:

• \( AB = 13 \, \text{см} \)
• \( BC = 14 \, \text{см} \)
• \( AC = 15 \, \text{см} \)

Следующий шаг — вычислить полупериметр \( s \) треугольника:

\[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \, \text{см} \]

Теперь используем формулу Герона для нахождения площади \( S \) треугольника ABC:

\[ S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \]

Теперь посчитаем:

1. \( 21 \cdot 8 = 168 \)
2. \( 168 \cdot 7 = 1176 \)
3. \( 1176 \cdot 6 = 7056 \)

Теперь находим квадратный корень:

\[ S = \sqrt{7056} \]

Проверяем, \( 7056 = 84^2 \):

\[ S = 84 \, \text{см}^2 \]

Шаг 2: Найдем площадь треугольников \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBK \)

Теперь, когда у нас есть площадь всего треугольника \( \triangle ABC \), мы можем найти площади подотрезков \( AK \) и \( KC \). Обозначим:

• Площадь \( \triangle ABK = S_{ABK} \)
• Площадь \( \triangle CBK = S_{CBK} \)

Соотношение площадей

Поскольку высота, опущенная из точки \( B \) на сторону \( AC \), остается неизменной для обеих частей (т. е. треугольников \( ABK \) и \( CBK \)), соотношение площадей треугольников будет пропорционально основаниям \( AK \) и \( KC \):

\[ \frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AK}{KC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Обозначим площади:

\[ S_{ABK} = 2x \quad \text{и} \quad S_{CBK} = 3x \]

Сумма площадей:

\[ S_{ABK} + S_{CBK} = S \Rightarrow 2x + 3x = 84 \Rightarrow 5x = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{5} = 16.8 \]

Теперь находим каждую площадь:

1. \( S_{ABK} = 2x = 2 \cdot 16.8 = 33.6 \, \text{см}^2 \)
2. \( S_{CBK} = 3x = 3 \cdot 16.8 = 50.4 \, \text{см}^2 \)

Ответ

• Площадь треугольника \( ABK \) равна \( 33.6 \, \text{см}^2 \)
• Площадь треугольника \( CBK \) равна \( 50.4 \, \text{см}^2 \)

Таким образом, мы нашли площади треугольников, не используя синусы, а только основные свойства площадей треугольников.