Д
Для того чтобы решить уравнение \(\frac{3}{x-2} = x - 1\), следуйте этим шагам:
Найдите общий знаменатель:
Первым делом избавимся от дроби. Перепишем уравнение, чтобы избавиться от дробной части путем умножения обеих сторон уравнения на знаменатель \((x-2)\):\[ 3 = (x - 1)(x - 2) \]
Раскрытие скобок и упрощение:
Раскройте скобки на правой стороне:\[ 3 = x(x - 2) - 1(x - 2) \]
\[ 3 = x^2 - 2x - x + 2 \]
\[ 3 = x^2 - 3x + 2 \]
Равенство нулю и приведение уравнения к квадратному виду:
Перенесите все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:\[ x^2 - 3x + 2 - 3 = 0 \]
\[ x^2 - 3x - 1 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Для решения квадратного уравнения \((x^2 - 3x - 1 = 0)\) используем формулу дискриминанта:Дискриминант (\(D\)) для \(ax^2 + bx + c = 0\) равен:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В данном случае \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -1\).
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \]
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдем их:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \]
Корни квадратного уравнения:
\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \]
\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \]
На этом решение завершено. Проверьте, подходят ли оба корня к исходному уравнению (оба значения не должны равняться 2, так как это привело бы к делению на ноль).
