4x-1/x+2=2x+12/x-1 найдите корни уравнений
Для решения уравнения \(\frac{4x - 1}{x + 2} = \frac{2x + 12}{x - 1}\) найдём общий знаменатель и приведём всё к одному виду.
Найдём общий знаменатель:
Знаменатели у нас \(x + 2\) и \(x - 1\). Общий знаменатель будет \((x + 2)(x - 1)\).Приведём к общему знаменателю:
Умножим обе части уравнения на \((x + 2)(x - 1)\), чтобы избавиться от дробей:\[ (4x - 1)(x - 1) = (2x + 12)(x + 2) \]
Раскроем скобки и упростим:
Левая часть: \[ (4x - 1)(x - 1) = 4x^2 - 4x - x + 1 = 4x^2 - 5x + 1 \]
Правая часть: \[ (2x + 12)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 12x + 24 = 2x^2 + 16x + 24 \]
Составим уравнение:
\[ 4x^2 - 5x + 1 = 2x^2 + 16x + 24 \]Переносим всё на одну сторону и упрощаем:
\[ 4x^2 - 5x + 1 - 2x^2 - 16x - 24 = 0 \] \[ 2x^2 - 21x - 23 = 0 \]Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -21\), \(c = -23\).Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \times 2 \times (-23)\).
\[ D = 441 + 184 = 625 \]
\(D\) положителен, значит, есть два корня:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{625}}{4} \] \[ x_{1,2} = \frac{21 \pm 25}{4} \]
- \(x_1 = \frac{21 + 25}{4} = \frac{46}{4} = 11.5\)
- \(x_2 = \frac{21 - 25}{4} = \frac{-4}{4} = -1\)
Проверка на допустимость решений:
Решения должны удовлетворять условиям избегания деления на ноль в исходных уравнениях.\(-1\) исключаем, так как подставив его, знаменатель первого дробного выражения \((x + 2)\) станет равным нулю.
Ответ: \(x = 11.5\) (это единственный подходящий корень уравнения).
