Реши

Давайте решим задачи по порядку из предоставленного варианта. **1. Решите уравнение:** а) \( 5x^2 - 4x - 12 = 0 \). Это квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 5 \), \( b = -4 \), \( c = -12 \). Можно воспользоваться формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 5 \times (-12) = 16 + 240 = 256. \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \] Подставим найденные значения: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{10} = \frac{4 \pm 16}{10}. \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2, \] \[ x_2 = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2. \] Ответ: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1.2 \). б) \( 6x^2 - 14x = 0 \). Это уравнение можно упростить, вынеся общий множитель \( x \): \[ x(6x - 14) = 0. \] Отсюда два решения: 1. \( x = 0 \). 2. \( 6x - 14 = 0 \Rightarrow 6x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \) Ответ: \( x = 0 \) или \( x = \frac{7}{3} \). **2. Одно число меньше другого на 7, а произведение этих чисел равно 330. Найдите эти числа.** Обозначим числа как \( x \) (меньшее) и \( y \) (большее), тогда по условию имеем: \[ y = x + 7, \] \[ xy = 330. \] Подставим первое уравнение во второе: \[ x(x + 7) = 330, \] \[ x^2 + 7x - 330 = 0. \] Воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = 7^2 - 4 \times 1 \times (-330) = 49 + 1320 = 1369. \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1369}}{2} = \frac{-7 \pm 37}{2}. \] 1. \( x_1 = \frac{-7 + 37}{2} = 15, \) 2. \( x_2 = \frac{-7 - 37}{2} = -22. \) Подходит только положительный корень: \( x = 15 \). Тогда второе число: \( y = x + 7 = 22 \). Ответ: \( 15 \) и \( 22 \). **3. Один из корней уравнения \( x^2 - px + 56 = 0 \) равен \(-4\). Найти второй корень и коэффициент \( p \).** По теореме Виета: - Сумма корней: \( x_1 + x_2 = p \). - Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 56 \). Если один из корней \( x_1 = -4 \), то: \[ -4 + x_2 = p, \] \[ -4 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow x_2 = -\frac{56}{4} = -14. \] Следовательно, \( p = -4 - 14 = -18 \). Ответ: второй корень \( -14 \), коэффициент \( p = -18 \).