Реши
Давайте решим задачи по порядку из предоставленного варианта.
1. Решите уравнение:
а) \( 5x^2 - 4x - 12 = 0 \).
Это квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 5 \), \( b = -4 \), \( c = -12 \). Можно воспользоваться формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 5 \times (-12) = 16 + 240 = 256. \]
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим найденные значения:
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{10} = \frac{4 \pm 16}{10}. \]
Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2, \] \[ x_2 = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2. \]
Ответ: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1.2 \).
б) \( 6x^2 - 14x = 0 \).
Это уравнение можно упростить, вынеся общий множитель \( x \):
\[ x(6x - 14) = 0. \]
Отсюда два решения:
- \( x = 0 \).
- \( 6x - 14 = 0 \Rightarrow 6x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \)
Ответ: \( x = 0 \) или \( x = \frac{7}{3} \).
2. Одно число меньше другого на 7, а произведение этих чисел равно 330. Найдите эти числа.
Обозначим числа как \( x \) (меньшее) и \( y \) (большее), тогда по условию имеем:
\[ y = x + 7, \] \[ xy = 330. \]
Подставим первое уравнение во второе:
\[ x(x + 7) = 330, \]
\[ x^2 + 7x - 330 = 0. \]
Воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = 7^2 - 4 \times 1 \times (-330) = 49 + 1320 = 1369. \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1369}}{2} = \frac{-7 \pm 37}{2}. \]
- \( x_1 = \frac{-7 + 37}{2} = 15, \)
- \( x_2 = \frac{-7 - 37}{2} = -22. \)
Подходит только положительный корень: \( x = 15 \).
Тогда второе число: \( y = x + 7 = 22 \).
Ответ: \( 15 \) и \( 22 \).
3. Один из корней уравнения \( x^2 - px + 56 = 0 \) равен \(-4\). Найти второй корень и коэффициент \( p \).
По теореме Виета:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = p \).
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = 56 \).
Если один из корней \( x_1 = -4 \), то:
\[ -4 + x_2 = p, \] \[ -4 \cdot x_2 = 56 \Rightarrow x_2 = -\frac{56}{4} = -14. \]
Следовательно, \( p = -4 - 14 = -18 \).
Ответ: второй корень \( -14 \), коэффициент \( p = -18 \).
