У Дарьи есть два игральных кубика. Первый из них обыч-ный, а на гранях второго кубика числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Дарья наудачу вы-брала один из двух кубиков и бросила его два раза. Известно, что оба раза выпало 5 очков. Какова вероятность того, что она бросила первый кубик?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой Байеса для нахождения условной вероятности. Обозначим события: - \( A_1 \): выбрали первый кубик. - \( A_2 \): выбрали второй кубик. - \( B \): выпали два раза 5 очков. Мы ищем вероятность \( P(A_1 | B) \), то есть вероятность того, что выбрали первый кубик при условии, что выпало два раза 5 очков. Согласно формуле Байеса, это можно рассчитать так: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \] 1. **Находим \( P(A_1) \) и \( P(A_2) \)**: Так как кубики выбираются наудачу, вероятность выбрать любой из кубиков равна: \[ P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2} \] 2. **Находим \( P(B | A_1) \)**: Для первого кубика, который является обычным, вероятность того, что при двух бросках оба раза выпало 5, равна: \[ P(B | A_1) = P(5) \cdot P(5) = \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{36} \] 3. **Находим \( P(B | A_2) \)**: Для второго кубика, на гранях которого числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза (каждое из 5 встречается 1/3 раз), вероятность того, что оба раза выпало 5, равна: \[ P(B | A_2) = P(5) \cdot P(5) = \left( \frac{2}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{6} \right) = \left( \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \] 4. **Находим \( P(B) \)**: Сначала вычислим \( P(B) \) с использованием теоремы полной вероятности: \[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} \] Если сосчитаем каждую часть: \[ P(B) = \frac{1}{72} + \frac{1}{18} \] Переведем \( \frac{1}{18} \) в общий знаменатель 72: \[ \frac{1}{18} = \frac{4}{72} \] Теперь имеем: \[ P(B) = \frac{1}{72} + \frac{4}{72} = \frac{5}{72} \] 5. **Подставляем все в формулу Байеса**: Теперь, когда у нас есть все необходимые вероятности, подставим их в формулу: \[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{72}} \] Упрощаем дробь: \[ P(A_1 | B) = \frac{\frac{1}{72}}{\frac{5}{72}} = \frac{1}{5} \] Таким образом, вероятность того, что Дарья бросила первый кубик, когда оба раза выпало 5, равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.