У Дарьи есть два игральных кубика. Первый из них обыч-ный, а на гранях второго кубика числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Дарья наудачу вы-брала…
У Дарьи есть два игральных кубика. Первый из них обыч-ный, а на гранях второго кубика числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Дарья наудачу вы-брала один из двух кубиков и бросила его два раза. Известно, что оба раза выпало 5 очков. Какова вероятность того, что она бросила первый кубик?
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой Байеса для нахождения условной вероятности.
Обозначим события:
- \( A_1 \): выбрали первый кубик.
- \( A_2 \): выбрали второй кубик.
- \( B \): выпали два раза 5 очков.
Мы ищем вероятность \( P(A_1 | B) \), то есть вероятность того, что выбрали первый кубик при условии, что выпало два раза 5 очков.
Согласно формуле Байеса, это можно рассчитать так:
\[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]
Находим \( P(A_1) \) и \( P(A_2) \): Так как кубики выбираются наудачу, вероятность выбрать любой из кубиков равна:
\[ P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2} \]
Находим \( P(B | A_1) \): Для первого кубика, который является обычным, вероятность того, что при двух бросках оба раза выпало 5, равна:
\[ P(B | A_1) = P(5) \cdot P(5) = \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{36} \]
Находим \( P(B | A_2) \): Для второго кубика, на гранях которого числа 1, 5 и 6 встречаются по два раза (каждое из 5 встречается 1/3 раз), вероятность того, что оба раза выпало 5, равна:
\[ P(B | A_2) = P(5) \cdot P(5) = \left( \frac{2}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{6} \right) = \left( \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \]
Находим \( P(B) \): Сначала вычислим \( P(B) \) с использованием теоремы полной вероятности:
\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} \]
Если сосчитаем каждую часть:
\[ P(B) = \frac{1}{72} + \frac{1}{18} \]
Переведем \( \frac{1}{18} \) в общий знаменатель 72:
\[ \frac{1}{18} = \frac{4}{72} \]
Теперь имеем:
\[ P(B) = \frac{1}{72} + \frac{4}{72} = \frac{5}{72} \]
Подставляем все в формулу Байеса:
Теперь, когда у нас есть все необходимые вероятности, подставим их в формулу:
\[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{72}} \]
Упрощаем дробь:
\[ P(A_1 | B) = \frac{\frac{1}{72}}{\frac{5}{72}} = \frac{1}{5} \]
Таким образом, вероятность того, что Дарья бросила первый кубик, когда оба раза выпало 5, равна \( \frac{1}{5} \) или 20%.
