Найдите все значения а при которых система имеет ровно 3 решения
Для решения задачи сначала разберемся с уравнениями системы:
- \((1 - \lg^2 x)(y - ax) = 0\)
- \(y = x^2 + a\)
Рассмотрим первое уравнение. Оно может быть равно нулю в двух случаях:
- \((1 - \lg^2 x) = 0\)
- \((y - ax) = 0\)
Случай 1: \(1 - \lg^2 x = 0\)
\[ \lg^2 x = 1 \implies \lg x = \pm 1 \]
Отсюда:
- \(\lg x = 1 \Rightarrow x = 10\)
- \(\lg x = -1 \Rightarrow x = 0.1\)
Для каждого из этих значений \(x\), \(y\) определяется вторым уравнением: \(y = x^2 + a\).
- При \(x = 10\), \(y = 10^2 + a = 100 + a\)
- При \(x = 0.1\), \(y = 0.1^2 + a = 0.01 + a\)
Случай 2: \(y - ax = 0\)
\[ y = ax \]
Подставим это во второе уравнение:
\[ ax = x^2 + a \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 + a - ax = 0 \implies x^2 - ax + a = 0 \]
Решим квадратное уравнение через дискриминант \(D\): \[ D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = a^2 - 4a \]
Чтобы система имела решения, дискриминант должен быть неотрицательным \(D \geq 0\):
\[ a^2 - 4a \geq 0 \]
Решим неравенство:
\[ a(a - 4) \geq 0 \]
Отсюда:
\[ a \leq 0 \quad \text{или} \quad a \geq 4 \]
Теперь рассмотрим количество решений в каждом из случаев:
- Для \(a \leq 0\) или \(a \geq 4\), у квадратного уравнения будет два решения \(x\).
- \((x, y)\) из \(\lg x = 1\) и \(\lg x = -1\) дает два отдельных решения.
Чтобы система имела ровно три решения, нужно, чтобы одно из решений из случая 2 совпадало с одним из случаев \(\lg x\):
Проверим \(a = 4\):
- \(x = 10\) даст \(y = 100 + a = 104\) и уравнение \(x^2 - ax + a = 0\).
- \(x = 0.1\) даст \(y = 0.01 + a = 4.01\), а уравнение имеет два равных решения.
Если \(a \neq 4\), решения из случая 2 не пересекутся с решениями \(\lg x = 1\) или \(\lg x = -1\).
Таким образом, единственное значение \(a\), при котором система имеет ровно три решения, это \(a = 4\).
