X2/x+3=1/4

Рассмотрим уравнение: \[ \frac{x^2}{x+3} = \frac{1}{4} \] Чтобы решить это уравнение, выполним следующие шаги: 1. **Умножение на знаменатель:** Для избавления от дроби, умножим обе части уравнения на \(x + 3\): \[ x^2 = \frac{1}{4} \cdot (x + 3) \] Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: \[ 4x^2 = x + 3 \] 2. **Приведение уравнения к стандартной форме:** Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 4x^2 - x - 3 = 0 \] 3. **Решение квадратного уравнения:** Квадратное уравнение можно решить, используя формулу для корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -3\). 4. **Вычисление дискриминанта:** \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \] 5. **Находим корни:** \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8} \] У нас два возможных корня: \[ x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4} \] 6. **Проверка корней на допустимость:** Проверим, подходят ли найденные \(x_1\) и \(x_2\) для первоначального уравнения: - Для \(x_1 = 1\): \[ \frac{1^2}{1 + 3} = \frac{1}{4} \] Верно. - Для \(x_2 = -\frac{3}{4}\), выражение \(x + 3\) будет положительным, и: \[ \frac{\left(-\frac{3}{4}\right)^2}{-\frac{3}{4} + 3} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{4} \] Тоже верно. Следовательно, оба значения \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{4}\) являются решениями уравнения.