X2/x+3=1/4
Рассмотрим уравнение:
\[ \frac{x^2}{x+3} = \frac{1}{4} \]
Чтобы решить это уравнение, выполним следующие шаги:
Умножение на знаменатель:
Для избавления от дроби, умножим обе части уравнения на \(x + 3\):
\[ x^2 = \frac{1}{4} \cdot (x + 3) \]
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\[ 4x^2 = x + 3 \]
Приведение уравнения к стандартной форме:
Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 4x^2 - x - 3 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
Квадратное уравнение можно решить, используя формулу для корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -3\).
Вычисление дискриминанта:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8} \]
У нас два возможных корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{3}{4} \]
Проверка корней на допустимость:
Проверим, подходят ли найденные \(x_1\) и \(x_2\) для первоначального уравнения:
Для \(x_1 = 1\):
\[ \frac{1^2}{1 + 3} = \frac{1}{4} \]
Верно.
Для \(x_2 = -\frac{3}{4}\), выражение \(x + 3\) будет положительным, и:
\[ \frac{\left(-\frac{3}{4}\right)^2}{-\frac{3}{4} + 3} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{4} \]
Тоже верно.
Следовательно, оба значения \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{4}\) являются решениями уравнения.
