Решить

Давайте разберём каждую задачу по порядку:

Задача 18

Условие: Найдите высоту равнобедренного треугольника, если его основание равно 16, а боковая сторона равна 10.

Решение:

1. Обозначим точки: \( ABC \) — треугольник, \( AB = AC = 10 \) — боковые стороны, \( BC = 16 \) — основание.

2. Проведём высоту \( AD \) из вершины \( A \) к основанию \( BC \). Высота \( AD \) также будет медианой, так как треугольник равнобедренный.

3. Тогда \( BD = DC = \frac{BC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

4. Используем теорему Пифагора для треугольника \( ABD \): \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] \[ 10^2 = AD^2 + 8^2 \] \[ 100 = AD^2 + 64 \] \[ AD^2 = 36 \] \[ AD = \sqrt{36} = 6 \]

   Высота равна 6.

Задача 19

Условие: Сумма трёх сторон равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна \(\sqrt{21}\). Найдите площадь треугольника.

Решение:

1. Пусть \( a \) — основание треугольника, \( h = \sqrt{21} \) — высота, проведённая к этой стороне.
2. Полная формула для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
3. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{21} \] Но найти без \( a \) невозможно напрямую. Нужно использовать дополнительные данные.
4. Зная периметр \( P = 14 \), такие данные недостаточны для точной площади, если только \( a \) не дано отдельно или дополнительной информации.

Задача 20

Условие: Решите уравнение: \( (x - 1)(2x + 4) = 4(x + 2) \).

Решение:

1. Раскрываем скобки в левой части: \[ (x - 1)(2x + 4) = 2x^2 + 4x - 2x - 4 = 2x^2 + 2x - 4 \]
2. Подставляем в уравнение: \[ 2x^2 + 2x - 4 = 4x + 8 \]
3. Переносим всё в одну часть: \[ 2x^2 + 2x - 4 - 4x - 8 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 12 = 0 \]
4. Разделим на 2: \[ x^2 - x - 6 = 0 \]
5. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]
6. Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Ответ: \( x = 3 \) и \( x = -2 \).