Найди все целые c

Чтобы найти все целые \( c \), при которых дробь \[ \frac{c^2 - 8}{c + 2} \] принимает целые значения, нужно выполнить следующие шаги: 1. **Проверь определенность дроби:** Дробь не определена, если знаменатель равен нулю. Следовательно, \( c + 2 \neq 0 \), или \( c \neq -2 \). 2. **Используй деление многочленов:** Мы должны разделить числитель на знаменатель. Используем полное деление многочленов: - Разделим \( c^2 - 8 \) на \( c + 2 \). Выполняем деление: - Берём первую часть \( c^2 \div c = c \). - Умножаем \( c \) на \( c + 2 \), получаем \( c^2 + 2c \). - Вычитаем из числителя: \( (c^2 - 8) - (c^2 + 2c) = -2c - 8 \). Продолжаем деление: - \((-2c) \div c = -2\). - Умножаем \(-2\) на \( c + 2 \): \(-2c - 4\). - Вычитаем: \((-2c - 8) - (-2c - 4) = -4\). В итоге: \[ \frac{c^2 - 8}{c + 2} = c - 2 + \frac{-4}{c + 2} \] 3. **Анализ целых значений:** Для того чтобы дробь была целым числом, выражение \(\frac{-4}{c+2}\) также должно быть целым. Это возможно, если \( c+2 \) является делителем \(-4\). Делители числа \(-4\) : \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \). Рассмотрим каждый из делителей: - \( c + 2 = 1 \Rightarrow c = -1 \) - \( c + 2 = -1 \Rightarrow c = -3 \) - \( c + 2 = 2 \Rightarrow c = 0 \) - \( c + 2 = -2 \Rightarrow c = -4 \) - \( c + 2 = 4 \Rightarrow c = 2 \) - \( c + 2 = -4 \Rightarrow c = -6 \) Но \( c \neq -2 \) по условию нашей дроби (знаменатель не равен нулю). 4. **Вывод:** Целые значения для \( c \) таковы: \( -6, -4, -3, -1, 0, 2 \). Таким образом, переменная \( c \) может принимать значения \( -6, -4, -3, -1, 0, 2 \), чтобы дробь оставалась целым числом.