в равнобедренной трапеции тупой угол равен 135⁰, а высота в 3 раза меньше большего основания. найдите площать трапеции, если меньшее основание равно 6 см.
Для решения задачи о нахождении площади равнобедренной трапеции, давайте разберемся с данными и понятиями шаг за шагом.
Данные:
- В равнобедренной трапеции один из углов равен 135°.
- Высота равнобедренной трапеции в 3 раза меньше большего основания.
- Меньшее основание (b1) равно 6 см.
Определения:
Площадь трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \] где \( b_1 \) и \( b_2 \) – основания трапеции, а \( h \) – высота.
Шаги решения:
Определим высоту: Обозначим большее основание трапеции как \( b_2 \). По условию высота \( h \) в 3 раза меньше большего основания: \[ h = \frac{b_2}{3} \]
Используем угол 135°: В равнобедренной трапеции, если угол равен 135°, тогда углы при основании (остальные два угла) равны 45° (поскольку сумма углов в любой трапеции равна 360°, и по 2 угла по 135° и по 45°). Это значает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и большего основания.
Составим треугольник: Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, который образуется, если опустить высоту из вершины большего основания на меньшее основание. Обозначим высоту как \( h \), меньшую основание \( b_1 = 6 \) см и половину разности оснований, как \( x \).
Тогда по свойствам угла при основании: \[ \tan(45°) = \frac{h}{x} \implies h = x \] Так как \( \tan(45°) = 1 \).
Связь между основаниями: Из треугольника, который мы построили: \[ x = \frac{b_2 - b_1}{2} = \frac{b_2 - 6}{2} \]
Так как мы знаем, что \( h = \frac{b_2}{3} \): \[ x = \frac{b_2}{3} \]
Составим уравнение: Таким образом, мы имеем: \[ \frac{b_2 - 6}{2} = \frac{b_2}{3} \]
Умножим все на 6 (наименьшее общее кратное): \[ 3(b_2 - 6) = 2b_2 \] \[ 3b_2 - 18 = 2b_2 \] \[ b_2 = 18 \text{ см} \]
Найдем высоту: Теперь, используя \( b_2 \): \[ h = \frac{b_2}{3} = \frac{18}{3} = 6 \text{ см} \]
Подставим в формулу площади: Теперь мы можем найти площадь: \[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} = \frac{(6 + 18) \cdot 6}{2} = \frac{24 \cdot 6}{2} = \frac{144}{2} = 72 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь равнобедренной трапеции равна \( 72 \) см².
