Рассмотрим квадратичные функции у = ах2 + bх + с (а ≠ 0), для которых у(1) = 1, у(3) =-7. Какое из утверждений А-Г неверно? (А) если с < 1, то а < 0 (Б) если а < 0, то с < 1 (В)…

Для анализа данной задачи, начнем с того, что мы имеем квадратичные функции вида \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a \neq 0 \). Нам также даны значения функции в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \):

1. \( y(1) = 1 \)
2. \( y(3) = -7 \)

Запишем это в виде уравнений:

1. \( a(1^2) + b(1) + c = 1 \) или \( a + b + c = 1 \) (1)
2. \( a(3^2) + b(3) + c = -7 \) или \( 9a + 3b + c = -7 \) (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{align*} 1. & \quad a + b + c = 1 \\ 2. & \quad 9a + 3b + c = -7 \end{align*} \]

Мы можем выразить \( c \) из первого уравнения:

\[ c = 1 - a - b \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 9a + 3b + (1 - a - b) = -7 \]

Упростим это уравнение:

\[ 9a + 3b + 1 - a - b = -7 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ (9a - a) + (3b - b) + 1 = -7 \\ 8a + 2b + 1 = -7 \]

Вынесем 2 за скобки:

\[ 2(4a + b) + 1 = -7 \\ 2(4a + b) = -7 - 1 \\ 2(4a + b) = -8 \\ 4a + b = -4 \quad (3) \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( a + b + c = 1 \) (1)
2. \( 4a + b = -4 \) (3)

Из уравнения (3) можем выразить \( b \):

\[ b = -4 - 4a \]

Подставим это значение в уравнение (1):

\[ a + (-4 - 4a) + c = 1 \\ a - 4 - 4a + c = 1 \\ -3a + c - 4 = 1 \\ c = 3a + 5 \quad (4) \]

Теперь имеем \( b = -4 - 4a \) и \( c = 3a + 5 \).

Теперь рассмотрим каждое из утверждений А-Г и проверим их истинность.

(А) Если \( c < 1 \), то \( a < 0 \).

Подставим выражение для \( c \):

\[ 3a + 5 < 1 \\ 3a < -4 \\ a < -\frac{4}{3} \]

Это правда, что при \( c < 1 \), \( a \) обязательно меньше \( -\frac{4}{3} \).

(Б) Если \( a < 0 \), то \( c < 1 \).

Если \( a < 0 \), подставим это в \( c = 3a + 5 \):

При \( a < 0 \), значение \( c = 3a + 5 \) может быть больше, меньше или равно 1, поэтому это утверждение не является истинным во всех случаях.

(В) Если \( -b < 1 \), то \( a < 0 \).

Подставим \( b \):

\[ -(-4 - 4a) < 1 \\ 4 + 4a < 1 \\ 4a < -3 \\ a < -\frac{3}{4} \]

Это утверждение действительно, но не обязательно приводит к \( a < 0 \).

(Г) Если \( a < 0 \), то \( -b < 3 \).

Подставляем \( b \):

\[ -(-4 - 4a) < 3 \\ 4 + 4a < 3 \\ 4a < -1 \\ a < -\frac{1}{4} \]

Это утверждение также может быть истинным, если \( a < 0 \).

(Д) Все утверждения А-Г обязательно верны — это неверно.

Теперь мы пришли к выводу, что:

• Утверждение (Б) неверно, так как \( a < 0 \) не гарантирует, что \( c < 1 \).

Таким образом, неверным утверждением является (Б).