Для анализа данной задачи, начнем с того, что мы имеем квадратичные функции вида ( y = ax^2 + bx + c ), где ( a \neq 0 ). Нам также даны значения функции в точках ( x = 1 ) и ( x = 3 ):
- ( y(1) = 1 )
- ( y(3) = -7 )
Запишем это в виде уравнений:
- ( a(1^2) + b(1) + c = 1 ) или ( a + b + c = 1 ) (1)
- ( a(3^2) + b(3) + c = -7 ) или ( 9a + 3b + c = -7 ) (2)
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[
\begin{align*}
- & \quad a + b + c = 1 \
- & \quad 9a + 3b + c = -7
\end{align*}
]
Мы можем выразить ( c ) из первого уравнения:
[
c = 1 - a - b
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
9a + 3b + (1 - a - b) = -7
]
Упростим это уравнение:
[
9a + 3b + 1 - a - b = -7
]
Сгруппируем подобные члены:
[
(9a - a) + (3b - b) + 1 = -7 \
8a + 2b + 1 = -7
]
Вынесем 2 за скобки:
[
2(4a + b) + 1 = -7 \
2(4a + b) = -7 - 1 \
2(4a + b) = -8 \
4a + b = -4 \quad (3)
]
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( a + b + c = 1 ) (1)
- ( 4a + b = -4 ) (3)
Из уравнения (3) можем выразить ( b ):
[
b = -4 - 4a
]
Подставим это значение в уравнение (1):
[
a + (-4 - 4a) + c = 1 \
a - 4 - 4a + c = 1 \
-3a + c - 4 = 1 \
c = 3a + 5 \quad (4)
]
Теперь имеем ( b = -4 - 4a ) и ( c = 3a + 5 ).
Теперь рассмотрим каждое из утверждений А-Г и проверим их истинность.
(А) Если ( c < 1 ), то ( a < 0 ).
Подставим выражение для ( c ):
[
3a + 5 < 1 \
3a < -4 \
a < -\frac{4}{3}
]
Это правда, что при ( c < 1 ), ( a ) обязательно меньше ( -\frac{4}{3} ).
(Б) Если ( a < 0 ), то ( c < 1 ).
Если ( a < 0 ), подставим это в ( c = 3a + 5 ):
При ( a < 0 ), значение ( c = 3a + 5 ) может быть больше, меньше или равно 1, поэтому это утверждение не является истинным во всех случаях.
(В) Если ( -b < 1 ), то ( a < 0 ).
Подставим ( b ):
[
-(-4 - 4a) < 1 \
4 + 4a < 1 \
4a < -3 \
a < -\frac{3}{4}
]
Это утверждение действительно, но не обязательно приводит к ( a < 0 ).
(Г) Если ( a < 0 ), то ( -b < 3 ).
Подставляем ( b ):
[
-(-4 - 4a) < 3 \
4 + 4a < 3 \
4a < -1 \
a < -\frac{1}{4}
]
Это утверждение также может быть истинным, если ( a < 0 ).
(Д) Все утверждения А-Г обязательно верны — это неверно.
Теперь мы пришли к выводу, что:
- Утверждение (Б) неверно, так как ( a < 0 ) не гарантирует, что ( c < 1 ).
Таким образом, неверным утверждением является (Б).
