решите уравнение (3x^2-2x-5)(x+2)=0
Чтобы решить уравнение \((3x^2 - 2x - 5)(x + 2) = 0\), мы применим свойство нуля: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому нам необходимо решить два уравнения:
- \(3x^2 - 2x - 5 = 0\)
- \(x + 2 = 0\)
Шаг 1: Решаем уравнение \(x + 2 = 0\)
Это простое линейное уравнение:
\[ x + 2 = 0 \]
Вычтем 2 из обеих сторон:
\[ x = -2 \]
Шаг 2: Решаем уравнение \(3x^2 - 2x - 5 = 0\)
Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -5\).
Подставим значения:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \]
Теперь, когда мы нашли дискриминант, мы можем использовать его, чтобы найти корни с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения \(a\), \(b\) и \(D\):
\[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 8}{6} \]
Теперь найдем два корня.
- Первый корень \(x_1\):
\[ x_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]
- Второй корень \(x_2\):
\[ x_2 = \frac{2 - 8}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \]
Итоговые решения
Теперь у нас есть три корня уравнения:
- \(x = -2\) из уравнения \(x + 2 = 0\)
- \(x = \frac{5}{3}\) из уравнения \(3x^2 - 2x - 5 = 0\)
- \(x = -1\) из уравнения \(3x^2 - 2x - 5 = 0\)
Таким образом, окончательные решения уравнения \((3x^2 - 2x - 5)(x + 2) = 0\) - это:
\[ x = -2, \quad x = \frac{5}{3}, \quad x = -1 \]
