Давайте решим каждую задачу по порядку, с подробными объяснениями.
1. Геометрическая прогрессия: первое значение меньше 1
Дана геометрическая прогрессия с первым членом (b_1 = 26214.4) и коэффициентом (q = 0.125). Мы ищем первое значение, которое меньше 1. Формула (n)-го члена геометрической прогрессии записывается как:
[
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
]
Заменим (b_1) и (q) в формуле, чтобы получить:
[
b_n = 26214.4 \cdot 0.125^{(n-1)}
]
Мы должны найти наименьшее (n), для которого (b_n < 1). Это можно записать в виде неравенства:
[
26214.4 \cdot 0.125^{(n-1)} < 1
]
Решим это неравенство:
[
0.125^{(n-1)} < \frac{1}{26214.4}
]
Теперь возьмем логарифмы от обеих сторон (используем, например, десятичный логарифм):
[
(n-1) \cdot \log(0.125) < \log\left(\frac{1}{26214.4}\right)
]
Поскольку (\log(0.125)) — отрицательное число, при делении на него знак неравенства изменится:
[
n-1 > \frac{\log\left(\frac{1}{26214.4}\right)}{\log(0.125)}
]
Теперь вычислим значения логарифмов:
- (\log(0.125) \approx -0.9030)
- (\log(1/26214.4) \approx -4.4183)
Теперь подставим:
[
n-1 > \frac{-4.4183}{-0.9030} \approx 4.89
]
Следовательно:
[
n > 5.89
]
Значит, первое целое (n) больше 5.89 — это (n = 6).
Теперь, подставим (n=6) обратно в формулу для проверки:
[
b_6 = 26214.4 \cdot 0.125^{(6-1)} = 26214.4 \cdot 0.125^5 \approx 0.0244
]
Это значение меньше 1. Таким образом, первое значение, которое меньше 1, — это (b_6 \approx 0.0244).
2. Пропущенный член геометрической прогрессии
Дана последовательность: ... ; 331; x; 21184; ... и известно, что (q > 0). Мы можем использовать свойства геометрической прогрессии.
Для упрощения, заметим, что между членами 331 и 21184 нас интересует член (x). Мы можем записать следующие уравнения, используя формулу геометрической прогрессии:
[
\frac{x}{331} = q \quad \text{и} \quad \frac{21184}{x} = q
]
Из первого уравнения выразим (q):
[
q = \frac{x}{331}
]
Из второго уравнения также выразим (q):
[
q = \frac{21184}{x}
]
Теперь приравняем два значения (q):
[
\frac{x}{331} = \frac{21184}{x}
]
Перемножим, чтобы избавиться от дробей:
[
x^2 = 331 \cdot 21184
]
Посчитаем:
[
x^2 = 7017984
]
Теперь найдем (x):
[
x = \sqrt{7017984} \approx 2658
]
Таким образом, пропущенное значение (x \approx 2658).
3. Сумма вклада через 5 лет
Петя положил 400,000 руб на счёт под 20% годовых. Сумма вклада определяется формулой сложных процентов:
[
S = P(1 + r)^t
]
где (P) — первоначальная сумма, (r) — ставка в десятичном виде (20% = 0.2), (t) — количество лет.
Подставим значения:
[
S = 400000 \cdot (1 + 0.2)^5 = 400000 \cdot (1.2)^5
]
Сначала посчитаем (1.2^5):
[
1.2^5 \approx 2.48832
]
Теперь окончательно:
[
S \approx 400000 \cdot 2.48832 \approx 995328
]
Таким образом, через 5 лет у Пети будет примерно 995,328 рублей.
4. Доход по вклада Маша
Маша положила 100,000 руб в банк под 30% годовых. Нам нужно узнать, через сколько лет она сможет получить 1 млн руб. Используем ту же формулу:
[
S = P(1 + r)^t
]
где (P = 100000), (S = 1000000), (r = 0.3). Подставляем и решаем уравнение:
[
1000000 = 100000(1 + 0.3)^t
]
Сократим на 100000:
[
10 = (1.3)^t
]
Теперь применим логарифм:
[
t \cdot \log(1.3) = \log(10)
]
Теперь найдем (t):
[
t = \frac{\log(10)}{\log(1.3)} \approx \frac{1}{0.1139} \approx 8.77 \text{ лет}
]
Таким образом, Маша сможет получить 1 млн рублей примерно через 9 лет.
5. Прирост населения
Население города (N = 800000), ежегодный прирост 5%. Население через (t) лет можно вычислить по формуле:
[
N_t = N(1 + r)^t
]
Подставляем известные значения:
[
N_t = 800000(1 + 0.05)^3
]
Сначала найдем значение (1.05^3):
[
1.05^3 \approx 1.157625
]
Теперь вычислим:
[
N_t \approx 800000 \cdot 1.157625 \approx 926100
]
Таким образом, население города через 3 года составит примерно 926,100 человек.
Надеюсь, эти объяснения были полезны! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
