дана геометрическая прогрессия b1=26214, 4 и q=0, 125 найдите первое значение которое меньше 1 дана геометрическая прогрессия:... ; 331; x ; 21184;... найдете значение…

Давайте решим каждую задачу по порядку, с подробными объяснениями.

1. Геометрическая прогрессия: первое значение меньше 1

Дана геометрическая прогрессия с первым членом \(b_1 = 26214.4\) и коэффициентом \(q = 0.125\). Мы ищем первое значение, которое меньше 1. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии записывается как:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

Заменим \(b_1\) и \(q\) в формуле, чтобы получить:

\[ b_n = 26214.4 \cdot 0.125^{(n-1)} \]

Мы должны найти наименьшее \(n\), для которого \(b_n < 1\). Это можно записать в виде неравенства:

\[ 26214.4 \cdot 0.125^{(n-1)} < 1 \]

Решим это неравенство:

\[ 0.125^{(n-1)} < \frac{1}{26214.4} \]

Теперь возьмем логарифмы от обеих сторон (используем, например, десятичный логарифм):

\[ (n-1) \cdot \log(0.125) < \log\left(\frac{1}{26214.4}\right) \]

Поскольку \(\log(0.125)\) — отрицательное число, при делении на него знак неравенства изменится:

\[ n-1 > \frac{\log\left(\frac{1}{26214.4}\right)}{\log(0.125)} \]

Теперь вычислим значения логарифмов:

• \(\log(0.125) \approx -0.9030\)
• \(\log(1/26214.4) \approx -4.4183\)

Теперь подставим:

\[ n-1 > \frac{-4.4183}{-0.9030} \approx 4.89 \]

Следовательно:

\[ n > 5.89 \]

Значит, первое целое \(n\) больше 5.89 — это \(n = 6\).

Теперь, подставим \(n=6\) обратно в формулу для проверки:

\[ b_6 = 26214.4 \cdot 0.125^{(6-1)} = 26214.4 \cdot 0.125^5 \approx 0.0244 \]

Это значение меньше 1. Таким образом, первое значение, которое меньше 1, — это \(b_6 \approx 0.0244\).

2. Пропущенный член геометрической прогрессии

Дана последовательность: ... ; 331; x; 21184; ... и известно, что \(q > 0\). Мы можем использовать свойства геометрической прогрессии.

Для упрощения, заметим, что между членами 331 и 21184 нас интересует член \(x\). Мы можем записать следующие уравнения, используя формулу геометрической прогрессии:

\[ \frac{x}{331} = q \quad \text{и} \quad \frac{21184}{x} = q \]

Из первого уравнения выразим \(q\):

\[ q = \frac{x}{331} \]

Из второго уравнения также выразим \(q\):

\[ q = \frac{21184}{x} \]

Теперь приравняем два значения \(q\):

\[ \frac{x}{331} = \frac{21184}{x} \]

Перемножим, чтобы избавиться от дробей:

\[ x^2 = 331 \cdot 21184 \]

Посчитаем:

\[ x^2 = 7017984 \]

Теперь найдем \(x\):

\[ x = \sqrt{7017984} \approx 2658 \]

Таким образом, пропущенное значение \(x \approx 2658\).

3. Сумма вклада через 5 лет

Петя положил 400,000 руб на счёт под 20% годовых. Сумма вклада определяется формулой сложных процентов:

\[ S = P(1 + r)^t \]

где \(P\) — первоначальная сумма, \(r\) — ставка в десятичном виде (20% = 0.2), \(t\) — количество лет.

Подставим значения:

\[ S = 400000 \cdot (1 + 0.2)^5 = 400000 \cdot (1.2)^5 \]

Сначала посчитаем \(1.2^5\):

\[ 1.2^5 \approx 2.48832 \]

Теперь окончательно:

\[ S \approx 400000 \cdot 2.48832 \approx 995328 \]

Таким образом, через 5 лет у Пети будет примерно 995,328 рублей.

4. Доход по вклада Маша

Маша положила 100,000 руб в банк под 30% годовых. Нам нужно узнать, через сколько лет она сможет получить 1 млн руб. Используем ту же формулу:

\[ S = P(1 + r)^t \]

где \(P = 100000\), \(S = 1000000\), \(r = 0.3\). Подставляем и решаем уравнение:

\[ 1000000 = 100000(1 + 0.3)^t \]

Сократим на 100000:

\[ 10 = (1.3)^t \]

Теперь применим логарифм:

\[ t \cdot \log(1.3) = \log(10) \]

Теперь найдем \(t\):

\[ t = \frac{\log(10)}{\log(1.3)} \approx \frac{1}{0.1139} \approx 8.77 \text{ лет} \]

Таким образом, Маша сможет получить 1 млн рублей примерно через 9 лет.

5. Прирост населения

Население города \(N = 800000\), ежегодный прирост 5%. Население через \(t\) лет можно вычислить по формуле:

\[ N_t = N(1 + r)^t \]

Подставляем известные значения:

\[ N_t = 800000(1 + 0.05)^3 \]

Сначала найдем значение \(1.05^3\):

\[ 1.05^3 \approx 1.157625 \]

Теперь вычислим:

\[ N_t \approx 800000 \cdot 1.157625 \approx 926100 \]

Таким образом, население города через 3 года составит примерно 926,100 человек.

Надеюсь, эти объяснения были полезны! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!