Чтобы найти производную функции ( y = \frac{2}{3} x^5 ), мы будем использовать правило нахождения производной для степенной функции.
Шаг 1: Определим функцию
Функция, которую нам нужно дифференцировать:
[
y = \frac{2}{3} x^5
]
Шаг 2: Применим правило производной
Для степенной функции с общей формой ( x^n ), где ( n ) — это любой действительный число, производная находиться по следующей формуле:
[
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
]
Шаг 3: Применим правило к нашей функции
В нашей функции ( y ), коэффициент ( \frac{2}{3} ) можно оставить в стороне, так как производная константы находит на своем месте, а производную возведенного в степень выражения мы можем найти:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{dx} (x^5)
]
Применяя правило производной:
[
\frac{d}{dx} (x^5) = 5 x^{5-1} = 5 x^4
]
Теперь подставим это в наше уравнение:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot 5 x^4 = \frac{10}{3} x^4
]
Шаг 4: Запишем ответ
Таким образом, производная функции ( y = \frac{2}{3} x^5 ) равна:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{10}{3} x^4
]
Итог
Мы нашли производную функции, разложив процесс на несколько шагов. В итоге получили:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{10}{3} x^4
]
Если у вас остались вопросы или необходимо разобраться с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!
