Для решения задачи сначала упростим выражение ((\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15}).
Шаг 1: Раскроем скобки.
Используем формулу квадрата разности:
[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
]
В данном случае (a = \sqrt{5}) и (b = \sqrt{3}). Применяем формулу:
[
(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2
]
Упростим каждое из выражений:
- ((\sqrt{5})^2 = 5)
- ((\sqrt{3})^2 = 3)
- (2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{15})
Подставляя, получаем:
[
(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3
]
Упростим это:
[
5 + 3 - 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15}
]
Шаг 2: Подставим во всё выражение.
Теперь вернемся к исходному уравнению и подставим вычисленное значение:
[
(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15}
]
Сложим оставшиеся части:
[
8 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 8
]
Таким образом, упрощенное выражение равно (8).
Ответ:
[
(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15} = 8
]
