## Контрольная работа по геометрии, 8 класс. Вариант 1. Тема: Теорема Пифагора 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см. По теореме Пифагора: гипотенуза² = катет₁² + катет₂² Гипотенуза² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 Гипотенуза = √169 = 13 см 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а его основание - 8 см. Найдите высоту этого треугольника, проведенную к основанию. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них: * Гипотенуза = 5 см (боковая сторона) * Катет = 8/2 = 4 см (половина основания) * Второй катет = h (высота) По теореме Пифагора: 5² = 4² + h² 25 = 16 + h² h² = 9 h = 3 см 3. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне. Пусть меньшая сторона (основание) равна 6 см. Проведем высоту h к этой стороне. Получим два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них: * Гипотенуза может быть 25 см или 29 см. * Катет = 6/2 = 3 см (половина основания) * Другой катет = h (высота) Поскольку треугольник существует, рассмотрим оба случая. Более вероятно, что высота связана с большей стороной. Случай 1: Гипотенуза = 29 см 29² = 3² + h² 841 = 9 + h² h² = 832 h = √832 ≈ 28,8 см Случай 2: Гипотенуза = 25 см 25² = 3² + h² 625 = 9 + h² h² = 616 h = √616 ≈ 24,8 см Наиболее вероятное решение - h ≈ 28.8 см, учитывая размеры сторон треугольника (высоту к меньшей стороне скорее всего можно опустить из вершины напротив большей стороны, если треугольник тупоугольный). 4. Сторона ромба равна 13 см, а одна из диагоналей - 24 см. Найдите площадь ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба: * Гипотенуза = 13 см (сторона ромба) * Катет = 24/2 = 12 см (половина диагонали) * Другой катет = x (половина второй диагонали) По теореме Пифагора: 13² = 12² + x² 169 = 144 + x² x² = 25 x = 5 см Вторая диагональ = 2 * 5 = 10 см Площадь ромба = (d₁ * d₂) / 2 = (24 * 10) / 2 = 120 см² Важно: В задаче 3 возможны две интерпретации, и я показал оба варианта решения. Без рисунка или дополнительной информации однозначно определить верный ответ трудно. Более вероятно, что нужно использовать первый случай.

Давайте разберем каждую задачу, чтобы вы смогли понять, как их решать, используя теорему Пифагора и другие геометрические принципы. ### Задача 1 **Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если катеты равны 5 см и 12 см.** По теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \(c\) — гипотенуза, \(a\) и \(b\) — катеты. Подставим значения: \[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] Теперь найдем \(c\): \[ c = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] ### Задача 2 **Найдите высоту равнобедренного треугольника с боковой стороной 5 см и основанием 8 см.** Заметим, что высота \(h\), проведенная к основанию, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Половина основания равна \(4\) см (половина \(8\) см). Прямоугольный треугольник будет иметь: - гипотенуза = 5 см - один катет = 4 см - другой катет = высота \(h\) Применяем теорему Пифагора: \[ 5^2 = 4^2 + h^2 \] \[ 25 = 16 + h^2 \] \[ h^2 = 25 - 16 = 9 \] \[ h = \sqrt{9} = 3 \text{ см} \] ### Задача 3 **Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне треугольника со сторонами 29 см, 25 см и 6 см.** В данном случае основание \(a\) = 6 см. Мы можем провести высоту от вершины, где находятся стороны 29 см и 25 см. Для начала, определим, какую сторону мы возьмем как гипотенузу и используем теорему Пифагора. Каждая из сторон может быть гипотенузой. Случай 1: \(c = 29 \) см. \[ 29^2 = 3^2 + h^2 \] \[ 841 = 9 + h^2 \] \[ h^2 = 841 - 9 = 832 \] \[ h = \sqrt{832} \approx 28.8 \text{ см} \] Случай 2: \(c = 25\) см (будем рассматривать меньшую сторону): \[ 25^2 = 3^2 + h^2 \] \[ 625 = 9 + h^2 \] \[ h^2 = 625 - 9 = 616 \] \[ h = \sqrt{616} \approx 24.8 \text{ см} \] Наиболее вероятное значение высоты будет около \(28.8\) см из-за большей стороны. ### Задача 4 **Найдите площадь ромба с длиной стороны 13 см и одной диагональю 24 см.** Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Одна диагональ \(d_1 = 24 \text{ см}\) делится пополам: \[ d_1/2 = 12 \text{ см} \] Обозначим вторую диагональ как \(d_2\) и её половину как \(x = d_2/2\). По теореме Пифагора: \[ 13^2 = 12^2 + x^2 \] \[ 169 = 144 + x^2 \] \[ x^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ x = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] Следовательно, \(d_2 = 2 \times 5 = 10 \text{ см}\). Теперь найдем площадь ромба: \[ \text{Площадь} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{24 \cdot 10}{2} = 120 \text{ см}^2 \] Таким образом, мы нашли абсолютно все необходимые значения и поняли, как применять теорему Пифагора в различных задачах. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!