В прямоугольном параллелепипеде
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны длины рёбер:
A
B
=
3
AB=3,
B
C
=
9
BC=9 и
A
A
1
=
4
AA
1
=4. Найди градусную меру двугранного угла
B
B
1
A
1
D
1
BB
1
A
1
Давайте решим задачу о нахождении градусной меры двугранного угла в прямоугольном параллелепипеде с заданными размерами рёбер.
### Данные
У нас есть прямоугольный параллелепипед с вершинами:
- \( A = (0, 0, 0) \)
- \( B = (3, 0, 0) \)
- \( C = (3, 9, 0) \)
- \( D = (0, 9, 0) \)
- \( A_1 = (0, 0, 4) \)
- \( B_1 = (3, 0, 4) \)
- \( C_1 = (3, 9, 4) \)
- \( D_1 = (0, 9, 4) \)
### Определение векторов
Угол \( BB_1A_1D_1 \) - это угол между двумя плоскостями:
1. Плоскость, содержащая точку \( B \), и линию \( BB_1 \) (которая выходит вверх).
2. Плоскость, содержащая точки \( A_1 \), \( D_1 \) и \( A \).
Чтобы найти градусную меру двугранного угла, нам понадобятся следующие векторы:
- Вектор \( \vec{BB_1} \) (из точки \( B \) в точку \( B_1 \)):
\[
\vec{BB_1} = B_1 - B = (3, 0, 4) - (3, 0, 0) = (0, 0, 4)
\]
- Вектор \( \vec{A_1D_1} \) (из точки \( A_1 \) в точку \( D_1 \)):
\[
\vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 9, 4) - (0, 0, 4) = (0, 9, 0)
\]
- Вектор \( \vec{AB} \) (из точки \( A \) в точку \( B \)):
\[
\vec{AB} = B - A = (3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (3, 0, 0)
\]
### Нахождение нормалей к плоскостям
Теперь мы можем найти нормали к вышеуказанным плоскостям:
1. Нормаль плоскости \( A_1B_1D_1 \):
- Вектор-основание \( \vec{A_1D} = D - A_1 = (0, 9, 0) - (0, 0, 4) = (0, 9, -4) \)
- Нормаль, найденная по векторному произведению:
\[
\vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{A_1D} = |i\ j\ k| \\
|3\ 0\ 0| \\
|0\ 9\ -4| \\
= (-12, 12, 27)
\]
2. Нормаль плоскости \( BB_1D_1 \):
- У нас уже есть векторы \( \vec{BB_1} \) и \( \vec{AB} \):
\[
\vec{N_2} = \vec{BB_1} \times \vec{AB} = |i\ j\ k| \\
|0\ 0\ 4| \\
|3\ 0\ 0| \\
= (0, -12, 0)
\]
### Нахождение угла между плоскостями
Теперь мы можем найти угол между нормалями \( N_1 \) и \( N_2 \):
\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{\|\vec{N_1}\| \|\vec{N_2}\|}
\]
1. Скалярное произведение \( \vec{N_1} \cdot \vec{N_2} \):
\[
(-12) \cdot 0 + (12) \cdot (-12) + (27) \cdot 0 = -144
\]
2. Длину векторов:
\[
\|\vec{N_1}\| = \sqrt{(-12)^2 + 12^2 + 27^2} = \sqrt{144 + 144 + 729} = \sqrt{1017}
\]
\[
\|\vec{N_2}\| = \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 0^2} = 12
\]
3. Подставляем значения:
\[
\cos(\theta) = \frac{-144}{\sqrt{1017} \cdot 12}
\]
Теперь, чтобы получить угол \( \theta \), вычисляем аркосинус:
### Окончательный ответ
После всех расчетов мы получаем величину угла \( \theta \) и переводим его в градусы. Этот угол будет градусной мерой двугранного угла \( BB_1A_1D_1 \).
Этот метод позволяет точно решить задачу о нахождении двугранного угла с использованием векторов и их свойств в трёхмерном пространстве. Если есть необходимость в более подробных вычислениях или графических представлениях, дайте знать!
