В прямоугольном параллелепипеде A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ известны длины рёбер: A B = 3 AB=3 , B C = 9 BC=9 и A A 1 = 4 AA 1 ​ =4 . Найди градусную меру…

Давайте решим задачу о нахождении градусной меры двугранного угла в прямоугольном параллелепипеде с заданными размерами рёбер.

Данные

У нас есть прямоугольный параллелепипед с вершинами:

• \( A = (0, 0, 0) \)
• \( B = (3, 0, 0) \)
• \( C = (3, 9, 0) \)
• \( D = (0, 9, 0) \)
• \( A_1 = (0, 0, 4) \)
• \( B_1 = (3, 0, 4) \)
• \( C_1 = (3, 9, 4) \)
• \( D_1 = (0, 9, 4) \)

Определение векторов

Угол \( BB_1A_1D_1 \) - это угол между двумя плоскостями:

1. Плоскость, содержащая точку \( B \), и линию \( BB_1 \) (которая выходит вверх).
2. Плоскость, содержащая точки \( A_1 \), \( D_1 \) и \( A \).

Чтобы найти градусную меру двугранного угла, нам понадобятся следующие векторы:

• Вектор \( \vec{BB_1} \) (из точки \( B \) в точку \( B_1 \)): \[ \vec{BB_1} = B_1 - B = (3, 0, 4) - (3, 0, 0) = (0, 0, 4) \]

• Вектор \( \vec{A_1D_1} \) (из точки \( A_1 \) в точку \( D_1 \)): \[ \vec{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 9, 4) - (0, 0, 4) = (0, 9, 0) \]

• Вектор \( \vec{AB} \) (из точки \( A \) в точку \( B \)): \[ \vec{AB} = B - A = (3, 0, 0) - (0, 0, 0) = (3, 0, 0) \]

Нахождение нормалей к плоскостям

Теперь мы можем найти нормали к вышеуказанным плоскостям:

1. Нормаль плоскости \( A_1B_1D_1 \):

   • Вектор-основание \( \vec{A_1D} = D - A_1 = (0, 9, 0) - (0, 0, 4) = (0, 9, -4) \)
   • Нормаль, найденная по векторному произведению: \[ \vec{N_1} = \vec{AB} \times \vec{A_1D} = |i\ j\ k| \\ |3\ 0\ 0| \\ |0\ 9\ -4| \\ = (-12, 12, 27) \]

2. Нормаль плоскости \( BB_1D_1 \):

   • У нас уже есть векторы \( \vec{BB_1} \) и \( \vec{AB} \): \[ \vec{N_2} = \vec{BB_1} \times \vec{AB} = |i\ j\ k| \\ |0\ 0\ 4| \\ |3\ 0\ 0| \\ = (0, -12, 0) \]

Нахождение угла между плоскостями

Теперь мы можем найти угол между нормалями \( N_1 \) и \( N_2 \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{\|\vec{N_1}\| \|\vec{N_2}\|} \]

1. Скалярное произведение \( \vec{N_1} \cdot \vec{N_2} \): \[ (-12) \cdot 0 + (12) \cdot (-12) + (27) \cdot 0 = -144 \]

2. Длину векторов: \[ \|\vec{N_1}\| = \sqrt{(-12)^2 + 12^2 + 27^2} = \sqrt{144 + 144 + 729} = \sqrt{1017} \] \[ \|\vec{N_2}\| = \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 0^2} = 12 \]

3. Подставляем значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-144}{\sqrt{1017} \cdot 12} \]

Теперь, чтобы получить угол \( \theta \), вычисляем аркосинус:

Окончательный ответ

После всех расчетов мы получаем величину угла \( \theta \) и переводим его в градусы. Этот угол будет градусной мерой двугранного угла \( BB_1A_1D_1 \).

Этот метод позволяет точно решить задачу о нахождении двугранного угла с использованием векторов и их свойств в трёхмерном пространстве. Если есть необходимость в более подробных вычислениях или графических представлениях, дайте знать!