решитьс подробным описанием:
Контрольная работа 2
«Треугольники»
Вариант 2
1. В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2 : 3. Найдите стороны треугольника.
2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и к так, что ZABM=LCBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ =CK. 3. Докажите равенство треугольников ABM и CDMМ (рис. 46), если АМ = СМ и
ZBAM=LDCM.
4. Прямая, проведённая через вершину А треугольника АВС, перпендикулярна его медиане СМ и делит её пополам. Найдите сторону АС, если АВ = 18 см.
Давайте разберем каждую задачу по порядку.
### Задача 1:
В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2 : 3. Найдите стороны треугольника.
1. Обозначим основание треугольника как \( a \) и боковую сторону как \( b \).
2. Дано, что периметр треугольника равен 56 см, а отношение основания к боковой стороне равно \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \). Это можно записать как:
\[
a = \frac{2}{3}b
\]
3. Поскольку это равнобедренный треугольник, то у нас два боковых ребра, и периметр можно выразить так:
\[
a + 2b = 56
\]
4. Подставим первое уравнение во второе:
\[
\frac{2}{3}b + 2b = 56
\]
Приведем подобные:
\[
\frac{2}{3}b + \frac{6}{3}b = 56 \Longrightarrow \frac{8}{3}b = 56
\]
5. Умножим обе стороны на 3:
\[
8b = 168
\]
6. Разделим обе стороны на 8:
\[
b = 21 \text{ см}
\]
7. Теперь найдем \( a \):
\[
a = \frac{2}{3} \times 21 = 14 \text{ см}
\]
8. Итак, стороны равнобедренного треугольника:
\[
a = 14 \text{ см}, \quad b = 21 \text{ см}, \quad \text{боковые стороны } 21 \text{ см.}
\]
---
### Задача 2:
На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки М и K так, что \( \angle ABM = \angle LCBK \), точка М лежит между точками А и K. Докажите, что \( AM = CK \).
1. Поскольку АВ = AC (равнобедренный треугольник), то углы у основания равны:
\( \angle CAB = \angle ACB \).
2. Заметим, что по условию \( \angle ABM = \angle LCBK \). Это говорит нам, что треугольники ABM и BKC имеют равные углы.
3. Поскольку \( \angle BAK = \angle BCK \), из этого мы можем сказать, что треугольники ABM и BCK подобны по углам (по двум углам).
4. Из подобия треугольников следует, что:
\[
\frac{AM}{AC} = \frac{AB}{BK} \quad (\text{по соответствующим сторонам}).
\]
5. Поскольку \( AC = AB \), мы можем записать:
\[
AM = BK \Longrightarrow AM = CK \quad (\text{что и требовалось доказать}).
\]
---
### Задача 3:
Докажите равенство треугольников ABM и CDM, если \( AM = CM \) и \( \angle BAM = \angle DCM \).
1. Дано, что \( AM = CM \). Это означает, что обе половины между точками A и M равны.
2. По условию, углы \( \angle BAM = \angle DCM \).
3. Известно, что \( AB = CD \) (это равный отрезок).
4. Применив критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), получаем равенство треугольников ABM и CDM.
5. Таким образом, \( \triangle ABM \cong \triangle DCM \) по критерию SAS.
---
### Задача 4:
Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикулярна его медиане CM и делит её пополам. Найдите сторону AC, если AB = 18 см.
1. Давайте обозначим AC как \( x \).
2. Так как медиана делит сторону BC пополам, пусть BM = MC и обозначим их как \( m \).
3. В треугольнике ACB, согласно теореме медиан, \( CM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \).
4. Поскольку медиана CM перпендикулярна к AB, то у нас получается прямоугольный треугольник ACM, где:
\[
AM^2 + CM^2 = AC^2.
\]
5. Используя \( AB = 18 \), можем выразить боковые стороны через \( x \):
\[
AC = 2CM \text{ (так как медиана делит ее пополам)}.
\]
6. Разрешим соответственно уравнения, если известно одно значение AB = 18. Однако без дополнительных данных о длине BC, CM и углах невозможно дать точный ответ для AC.
Таким образом, если AB = 18 см, и пусть BC = y, нам нужен дополнительный параметр (например, длину BC) для завершения расчетов.
Если у вас есть дополнительные вопросы или информация по конкретной части, дайте знать!
